立足数学思想方法，整体架构分数乘法中的算理和算法——“分数乘整数”教学实录与评析

江苏无锡市新安实验小学 朱春雷（执教）荣英子（评析）

教学内容：苏教版数学六年级上册第28～29页例1、例2、“练一练”及练习五第1～5题。

教学目标：

第一，使学生体会分数与整数相乘的含义，理解并掌握分数乘整数的计算方法，并能正确计算。

第二，使学生经历探究分数乘整数的意义，探索分数乘整数的计算方法，积累数学学习经验，培养观察、分析、推理和概括等能力。

第三，培养学生数学学习的探究方法、探究意识和优化意识，增强学生学好数学的信心，提高学习数学的兴趣。

教学重点：理解并掌握分数乘整数的计算方法。

教学难点：理解分数乘整数的计算方法。

教学过程：

一、复习导入，激活旧知

师：什么是分数？

生：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。

[评析]“分数”和“乘法”都是学生学习分数乘整数的重要基础，有研究显示，学生从乘法的角度理解分数乘整数的意义并不困难。确实，学生对于乘法意义的理解已经比较透彻。因此，本节课学生学习的认知难点不在于“乘法”，而在于“分数”，从分数的意义出发更能促进学生思考。教师要准确把握学生的认知起点，紧扣本节课的关键点，从整体把握教材。

二、探索算理，归纳算法

（一）创设情境，引入新课

出示问题：小芳做3 朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米？

提问：求“一共用绸带几分之几米？”是求什么？

[评析]教师利用教材设计的情境引入新课，将计算教学与解决实际问题有机结合。这样有利于学生联系现实问题情境，理解分数乘法的意义，体会学习计算是解决实际问题的需要。学生在分析题目时，教师引导学生主动将整数乘法的意义推广到分数乘法中。通过新旧知识的联系，实现学生原有认知结构的改造和新认知结构的建立，促进数学知识的融会贯通。教师还有意识地唤醒学生的旧知——分数单位，为后面学生对算理的理解做准备。

（二）探索算理

（学生在书上涂色）

师：对，可以用连加计算，我们在学整数乘法时知道，求几个几是多少也可以用乘法计算。分数加法我们很熟悉了，那这个算式是？

生：分数乘整数。

师：这就是今天我们要研究的内容：分数乘整数。

（板书标题：分数乘整数）

生2：我感觉是这样算的。

师：那我们一起来研究一下这样算有没有道理。

师：好，那我们可以用等号将这两个算式连接。

师：算下去，这是同分母分数的加法，怎么算？

生：分母不变，分子相加。

师：分母上的3个3相加可以写成什么？

生：3乘3。

小结：我们可以根据同分母分数加法的计算方法推导出分数与整数相乘的计算方法。

（三）归纳算法

师：请同学们观察这道算式说说分数乘整数的计算方法。

算法：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。

师：为什么3 和分子3 相乘，却不和分母10乘？

生：如果和10乘，分母就变了，分数单位没有变，所以不能和10乘。

[评析]五年级学生已经学习了小数乘整数的计算，部分关注计算形式的学生可能会有疑惑：小数乘整数时，小数的每一个数位上的数都要和整数相乘，为什么分数乘整数中，分母不和整数相乘呢？教师在归纳完算法后，提出了一个巧妙的问题：为什么3 和分子3 相乘，却不和分母10 相乘？引发学生深度思考：是把单位“1”平均分成10份，有这样的3 份，乘3 就是9 份，分数单位始终没有变。“求3 个是多少，就是求3 个‘3 个’是多少。”看似拗口的一句话，学生却能够在教师的引导下顺利地表述出来。可见，学生的数学思维在语言表达中得到了提升。计算教学的本质无非是在计一计、算一算有几个计数的单位，分数乘整数的计算无非就是在算一算有几个分数单位。这部分的教学是本堂课最精彩的部分，学生从分数的本质上理解了算法，在明晰算理的过程中进一步理解算法，也充分地体会到了算理的严密性和算法的合理性，教师让算理和算法在反思中更通透。

（四）优化算法

出示例2：小华做5朵这样的绸花，一共用绸带几分之几米？

师：求“一共用绸带几分之几米？”就是求什么？

师：观察刚才两个例子，思考分数乘整数表示什么含义？

生：表示求几个几分之几是多少。

（板书：表示求几个几分之几是多少）

师：你打算怎样列式？

师：我们一起来计算。

生：3乘5是分子，10是分母。

师：分子上有两个因数分别是3 和5，你发现了什么？

生：分子和分母都有因数5。

师：那根据分数的基本性质，我们可以将分子和分母同时除以5，这样就在计算过程中约分了。

师：你觉得先计算再约分和先约分再计算，哪种方法更简单？

生：先约分，再计算。

师：所以我们在计算分数乘整数时要注意观察，如果可以先约分的，要先约分再计算，这样计算起来比较简便。

[评析]例2的教学重在优化算法。过程约分和结果约分是计算中出现的两种情况，这两种情况没有对错，都能算出正确答案。但是，在计算过程中先约分，再计算，大大地降低了计算难度。教师通过两种计算情况的对比分析，让学生体会先约分，再计算的优势。在教学中要把握好教师“教”和学生“学”的分寸，学生的学习以有意义的接受学习为主，因此教师适时的引导非常关键。这里不需要刻意让学生去探索发现在计算过程中约分的简洁性，教师只需稍加引导，让数学知识自然生成即可。处理好“教”和“学”的分寸，数学教学就能达到润物无声之效。

（五）练习提升

通过练习“练一练”、练习五第1～5 题，巩固和提升所学知识。

（六）全课总结

师：通过本节课的学习，谈谈你的收获。

[总评]《分数乘整数》是苏教版数学六年级上册《分数乘法》中第一课时的内容。本节课是一节计算教学课。计算教学的重点就是：理解算理，掌握算法。何为算理？顾名思义，就是计算过程中的道理，是一种思维方式，它是客观存在的规律。何为算法？算法是用文字表述的运算方法，它是根据算理对运算过程实施细则作出的具体规定，是人为规定的操作方法，它反映的是一种规范化的操作程序。下面是关于本节课的一些思考。

第一，思考数学思想方法，从数学本质上整体把握教材。数学思想方法和数学内容是数学不可分割的两个方面，它们一暗一明，思想方法潜在统领，数学内容有形外显。数学教学就要基于思想方法，促进学生理解道理、掌握内容。学生学习本节课的起点有两个，一个是整数乘法的意义，即求几个几是多少可以用乘法计算；一个是分数的意义和基本性质及分数加法运算。因此，教师把《分数乘整数》置于“乘法”和“分数”两大知识框架中，找到新知与旧知之间的桥梁，利用有效的正迁移，来构建学生的数学认知结构。教师还准确把握学生的认知起点，从分数的意义切入即从数学的思想方法上思考，紧扣本节课的教学难点，从数学本质上整体把握教材。

第二，整体架构算理和算法，有效演绎推理。学生只要知道算法就能根据形式化的步骤进行运算，所以有的教师只关注计算结果，在计算教学中往往忽视算理，重视算法。学生只是机械地掌握了计算程序，知其然，却不知其所以然。贲友林老师说过：算理为计算提供了正确的思维方式，保证了计算的合理性和正确性。算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算速度。因此，算法和算理是相辅相成，缺一不可的。而算理和算法背靠思想方法来统领。本节课，教师在数学思想方法的引领下，引导学生注重算理的探索、算法的归纳，让学生经历探索分数乘整数的计算方法的过程，体会数学知识的内在联系，积累数学学习经验，培养学生观察、分析、推理和概括等思维能力。