安培力与洛伦兹力的非完全等效关系

龚渝涵

摘 要：分析了洛伦兹力和安培力的量化关系，在此基础上对力的产生机理进行了分析；就安培力与洛伦兹力的相互关系，从功能关系与参考系两方面进行讨论，通过宏观角度与微观角度结合，从而得出对于在磁场中运动的通电物体，其中粒子所受洛伦兹力的合力与物体所受的安培力虽然在数量上相当，由于产生机理不完全一致，两种力不完全等效的结论。

关键词：安培力；洛伦兹力；功；功能关系；参考系

通电导体在磁场中运动，宏观上受到了安培力，探究其产生原理，则需要考虑导体中呈整体运动的电子受到磁场的作用而形成的合力，这种合力并不直接作用于导体本身，而是作用在微观态的单个电子上，因而并不是安培力的直接来源，在电子整体定向运动之前，更加无法描述其整体的合力究竟是朝向哪个方向。有必要对安培力和洛伦兹力做出必要的分析，并且从受力的物理意义上进行区分。

文献[1]～[10]对认识两种力做出了多角度的解释，主要从力的机理给出了说明，但没有在力与机理之间的联系做出解释。

本文从功能关系和参考系转换两个角度，通过讨论对同一模型的几种不同的维度的思考，从而分析安培力与洛伦兹力的关系，先从数量上进行推导，说明两种力之间存在的某种联系，进而通过分析受力对象等因素，从而得到安培力与洛伦兹力不完全等效的结论。

我们知道安培力是通电导体或者电流在磁场中受到的力，而洛伦兹力是运动电荷在磁场中受到的力，且单位时间内通过导体任意截面的电量叫做电流。当导体置于磁场中且不通电时，电子无序运动，单个电子受洛伦兹力，但不存在对导体整体的安培力，从能量的角度来看，由于外部没有电能输入，对导体而言也没有动能和势能的增加，整个系统是能量守恒的，对电子而言，受洛伦兹力在任何时刻都与运动方向垂直，因此也处处不做功。

当导体置于磁场中且通电时，电子有序定向运动，为了方便分析洛伦兹力与安培力的大小关系，现考虑以下模型：以金属通电导体中的电子为例，假设一根长为L，横截面积为S的通电金属直导体在磁场强度为B的匀强磁场中运动，其中单位体积有n个自由电子。

所以得出对于同一金属通电导体其所受的安培力在数值上等于其中电子所受的洛伦兹力的总和。以上的推导过程从力的大小上给出了一种解释，即洛伦兹力确实存在某种和安培力的相关关系，这正反应了安培力是洛伦兹力的宏观表现。但还不能说明两者可以直接等价。

该结论看起来似乎是正确的，但仔细分析，就会发现有以下矛盾：其一，安培力的效果是改变或维持导体的运动状态，而洛伦兹力的效果是为粒子做匀速圆周运动提供向心力。其二，安培力做功，而洛伦兹力不做功。综上所述，可以认为安培力不是洛伦兹力的宏观表现。既不符合力的矢量性原则，也不符合功的基本原理，即二者虽然数量上相关，但机理上则有所不同，现从不同角度分析安培力与洛伦兹力的关系。

1 从功能关系的角度分析

当导体静止时，安培力垂直于电流与磁场，且电流方向是导体内电子运动方向的反方向，对单个电子进行分析，由左手定则可知，此时洛伦兹力的方向也与电流和磁场垂直，所以导体中所有粒子所受洛伦兹力矢量和的方向与安培力方向相同。且物体静止时，无论经过多久，安培力与洛伦兹力均不做功。且这时物体中所有运动的电子均受洛伦兹力，所以可将洛伦兹力的总和的作用对象视为该导体。在此情况下导体中所有粒子所受的洛伦兹力的矢量和与安培力大小相等，方向相同，作用对象相同，因此此时安培力就是导体中所有粒子所受洛伦兹力的矢量和。综上所述当导体静止时，其所受安培力就是其所受洛伦兹力的宏观表现。当导体非静止时，安培力的效果是在通电导体在磁场中运动时提供一定加速度，方向不与速度方向垂直，会改变物体的动量，会对物体做功，使物体的动能改变，而无论在什么情况下洛伦兹力始终与粒子运动方向垂直，即洛伦兹力不对物体做功。

且通电导体在磁场中运动的时候，电子相对于磁场的速度是电子在导体中运动的速度和导体相对于磁场运动的速度的合速度。由此可见，安培力的速度方向是垂直导体的，而洛伦兹力的方向是与电子相对于磁场的速度方向垂直的。力是矢量，其方向不同，所以力不相同，因此我们可以得到在导体运动时导体受到的安培力与导体中粒子所受洛伦兹力的矢量和，并不是完全等效的。

从功能关系的角度，我们可以得出结论，在导体静止时，一个通电导体所受安培力是其中粒子所受洛伦兹力的宏观表现；在导体运动时，一个通电导体所受安培力与其中全部粒子所受的洛伦兹力不完全等效。

2 从参考系的角度分析

安培力为什么会在导体运动时，不再是洛伦兹力的宏观表现。对此现象的一种解释如下：当导体不再静止的时候，此时电子所受洛伦兹力不与安培力垂直，所以此时电子会受到一个平衡洛伦兹力在导体方向上的分力使其相对于导体做匀速运动，且电子在导体中时，因受到了导体对它的束缚，其所受的洛伦兹力并不能使电子做匀速圆周运动，所以此时洛伦兹力和电子所受的束缚力的合力就体现为使电子在导体运动的方向上的分运动与导体运动状态相同。即此时安培力就是电子所受的所有力的矢量和的宏观表现。即安培力确实与电子受到的洛伦兹力有关，从力的大小而言也能够相当，但洛伦兹力并没有直接矢量合成为安培力，这就形成了力的大小相等，力的来源不同的看似矛盾的物理现象。

3 结论

分析了洛伦兹力和安培力的量化关系，在此基础上对力的产生机理进行了分析；就安培力与洛伦兹力的相互关系，从功能关系与参考系两方面进行讨论，通过宏观角度与微观角度结合，从而得出对于在磁场中运动的通电物体，其中粒子所受洛伦兹力的合力与物体所受的安培力雖然在数量上相当，由于产生机理不完全一致，两种力不完全等效的结论。通过上文的分析得出安培力与洛伦兹力的关系如下：①在导体静止时，安培力与其中电子所受洛伦兹力的矢量和等效，即安培力在此情况下，是洛伦兹力的宏观表现；②在导体运动时，若以磁场为参考系，此时安培力不是洛伦兹力的宏观表现；若以导体为参考系，此时安培力是洛伦兹力在垂直导体方向上的分力的宏观表现。

安培力与洛伦兹力相等在物理过程上是有条件的，即在回路中通电，导体内的电荷定向运动，此时两种力的量度相等。

电流相对磁场的运动，根据矢量合成的原则，是由电流相对导体的运动，加上导体对观察者参考系的相对运动而合成，则电流相对参考系的方向和导体所在直线的方向不同，因此安培力可以形成与导体运动方向的某个运动夹角，则安培力所做的功是力与运动方向的乘积的某个分量。

以上的各个关系是一个整体，能够解释洛伦兹力与安培力的相关关系。

参考文献：

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