小学生数学表达能力培养的实践研究

李志军

摘要：数学表达，就是用数学语言表达数学思维，用数学方式表征现实问题。数学表达能力是学生的核心素养之一。培养学生的数学表达能力是数学教育的一项任务，也是提高学生数学学业水平的有效路径。然而，目前的数学课堂呈现出数学表达机会少、意愿低、不准确、欠严谨、待简洁等现象。这可能与教师的教育观念、培养态度以及自身素养有关。实践证明，培养学生的数学表达能力，要有清晰的目标、有效的策略、具体的方法、积极的评价。

关键词：小学数学数学表达本质现状成因

2019年6月3日，我在“求真悟道”2019全国小学数学教育论坛上聆听了福建省教研室罗鸣亮老师执教的《你知道吗？》一课。这节课的研讨主题是“表达”，而笔者近年来对数学表达也做了一定的研究与实践。因此在观课时，我对小学生的表达现状以及教师对小学生表达能力的培养等，多了一份留意，也多了一些思考。现将自己的思考与实践做一个整理。

一、品味：关注表达的课堂

听罗老师的课，我感受到：学生表达的欲望是可以被教师激发的，学生表达能力的培养是需要教师给学生创造机会的，使用恰当的数学语言表达数学思维是数学表达能力的重要体现。细细品味，给我很多启发。

（一）轻松的氛围，让学生有兴趣表达

【教学片段1】课前谈话

师（声音很轻）同学们好！

生（声音也很轻，特别拘谨）老师好！

师（音量提高了一点）同学们好！

生（音量也提高了一点）老师好！

师（音量再提高了一点）同学们好！

生（音量也再提高了一点）老师好！

师有进步！（声音更响亮了）同学们好！

生（声音也更响亮了）老师好！

师进步明显！（稍停）同学们乖！

（学生都愣住了，听课老师发出会心的笑。几秒的停顿后——）

师要敢于表达呀！想什么就说什么！

生（笑着小声地）老师乖！

师（声音更响亮）同学们乖！

生（大声地）老师乖！

课前谈话看似平淡无奇，却产生了神奇的效果：不仅拉近了师生之间的距离，更重要的是，为学生打造了一种安全、宽松、民主、自由的学习氛围。在这样的学习氛围中，学生乐于表达自己的见解并勇于实践自己的主张，而且学生的表达也因受到他人的启发而得到充分的发展。

课堂上，罗老师高举话筒、面带微笑、静待花开的邀请姿态，是一种倾听者的姿态，是一种欣赏者的姿态。这无声的动作也在营造浓浓的表达氛围。在这样的表达氛围中，学生表达的欲望被充分激发。整节课，我们可以看到学生的改变：从最初的不敢表达、很少表达，到后来的积极表达、畅所欲言。

（二）充分的时间，让学生有机会表达

【教学片段2】交流“5的倍數特征”

师5的倍数为什么只看个位？

（刚开始，举手的人不多;等待了几十秒，举手的人越来越多了。）

师（走到一位举手的男生前面，指着他不举手的女生同桌）你确定和她交流了吗？

（男生和女生都做出肯定的回答。）

师确定交流了，为什么你举手了，她没举手？是她的责任，还是你的责任？

生我认为，我们都有责任。

师都有责任，怎么办？

生那就再详细地交流一下。

师（面向全班）这个建议好不好？（面向这组同桌）再给你们一次详细交流的机会。

……

师第二次详细的交流中，显然，（指着刚才那位男生）他就负起了责任。而且，好多小组的交流都负起了责任。更加值得骄傲的是，（指着刚才那位男生的女生同桌）她举起了手！掌声送给她！

（热烈的掌声响起。）

在这个环节，罗老师给了学生充分的时间，让学生有更多的表达机会。当很多学生还没有举手时，罗老师耐心地等待;当私下交流过的同桌两人只有一人举手时，罗老师让他们再次私下交流。这是大班额教学中智慧的做法，是让面向全体落到实处的教学艺术，可以让更多的学生有机会表达，更好地表达。有了私下充分的交流，学生在全班交流中会表达得更自信、更清晰。

（三）多样的语言，让学生有方法表达

【教学片段3】交流“5的倍数特征”

生其实，我觉得前面同学讲的方法有点像位值原理，就是可以把一个数拆分成十位及以上的数位和个位，因为十位及以上的数位，它那个数乘10，嗯，就是，就是……

（教师做出一个请的动作，学生来到黑板前。）

生假设是3255，可以拆分成3250和5。因为3250是10的倍数，10肯定是5的倍数。因为十位及以上数位的数是5的倍数，所以只要看个位是不是5的倍数就可以了。

（学生自发热烈地鼓掌。）

……

师这是她的表达，还有吗？或者对她的想法，你还有什么补充吗？

生假设四位数为abcd，abcd=1000a+100b+10c+d，因为1000a、100b和10c都是10的倍数，10又是5的倍数，所以1000a、100b和10c都是5的倍数，所以只要看个位d是不是5的倍数就行了。

（会场里掌声四起。）

【教学片段4】交流“3的倍数特征”

在交流3的倍数为什么要看各个数位上数的和时，学生同样先举具体数字，再用字母表示数。不过，学生讲完之后，教师又利用点子图（如图1）帮助学生理解。

在解释5的倍数为什么只看个位时，学生使用文字语言或符号语言就能说清楚，而且使用符号语言表达更具有一般性。而在解释3的倍数为什么要看各个数位上数的和时，罗老师预设到学生有可能只会用文字语言和符号语言表达，于是又引导学生借助图像语言理解。

在这样的多元表征中，学生经历了“经验式表达—举例式表达—符号式表达—图像式表达”的过程，实现了从经验归纳到逻辑推理的转身，实现了从“让别人听得懂”到“让别人觉得妙”的提升。

二、检索：数学表达的本质

广义的表达是指将思维所得的成果用语言、语音、语调、表情、行为等方式反映出来。它以交际、传播为目的，以物、事、情、理为内容，以语言为工具，以听者、读者为接收对象。

席爱勇指出，数学表达就是用动作、口语或书面（图像、符号、文字等）的形式描述、展示数学知识技能、思维过程、思想方法、问题解决等的一种行为。它以数学交流和传播为目的，以数量关系和空间形式为内容，以数学语言（图像语言、符号语言、文字语言）为工具，以动作、神情、口语或书写为媒介。

我以为，数学表达就是用数学语言表达数学思维，用数学方式表征现实问题。这里的数学语言包括口头发言，也包括运用文字语言、符号语言、图形语言进行的书面表达。

三、叩问：数学表达的意义

（一）专家提醒：数学表达能力是学生的核心素养

曹才翰教授指出：数学表达能力被视为构成数学素质的基本内涵之一;运用数学语言进行表达和交流的能力已成为检验人的综合素质的标志之一。

徐斌艳教授基于国际视野，结合中国国情，提出义务教育阶段学生六个方面的数学核心能力：从数学的角度提出问题、数学表征与变换、数学推理与论证、数学建模、数学地解决问题、数学交流。

（二）课标要求：培养数学表达能力是数学教育的一项任务

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程目标”中指出：“（数学思考方面）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。（问题解决方面）学会与他人合作交流。（情感态度方面）养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。”

《普通高中数学课程标准（2017年版）》则在“课程性质”中指出：“提升学生的数学素养，引導学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。”

（三）实践所得：培养数学表达能力是提高数学学业水平的有效路径

在多年的教学中，我发现这样的现象：某个班的学生如果在数学课堂上发言有条有理、有根有据，那么他们的数学学业水平就比较高，处在平行班的前列。而且，随着年级的增高，数学表达好的班级数学学业水平的优势更为明显。当然，一个班学生的数学表达能力整体很好，与教师平时有意识地培养是分不开的。

四、扫描：数学表达的现状

回忆自己平时的课堂教学以及听课情况，与罗老师的课堂教学相比，我发现，目前小学生的数学表达情况有待改善的空间还很大，主要表现为：

（一）数学表达机会少

在我们平时的课堂，尤其是公开课中，时常会见到这样场面：教师出示一个问题后，过了一两秒，有学生举手，教师指名学生（一般为“学优生”）回答，该生说出标准答案，教师自然地过渡到下一个环节。这里，思维慢的学生思考的机会被思维快的学生扼杀了，更别说表达的机会了。

（二）数学表达意愿低

刚入学的一年级学生，发言是最积极的：小手如林，小脸通红，急着要表达自己的想法;不管对与错，就是要表达自己的想法。随着年级的升高，有些学生不再愿意表达自己的想法了。到了六年级，如果教师的教学设计一般，不能激发学生的兴趣，课堂就会死气沉沉，少有学生表达自己的想法、与教师互动。也有可能，课堂成为教师与个别“学优生”的表演秀。

（三）数学表达不准确

概念是反映客观事物本质属性的基本思维形式。数学概念是数学知识的基础、数学教学的重点。而小学生在使用和表达数学概念时经常会出现模糊、不精准的情况。例如，教学三角形概念时，教师问：“什么样的图形是三角形？”有学生不假思索地回答：“由三条线段组成的图形叫作三角形。”这时，就要引导学生思考“组成”这个词语是否贴切，有没有更精准的词语。又如，教师问：“怎样的三条线段不能围成三角形？”有学生回答：“两边之和等于或小于第三边，就不能围成三角形。”这里，学生混淆了线段与边的关系：线段只有在围成三角形之后，才能称为边;当其称为边时，说明已围成了三角形。

（四）数学表达欠严谨

数学表达还有一个很重要的指标，就是逻辑性、严谨性。数学表达是要有根有据、有条有理的。先说什么，再说什么，最基本的格式就是逻辑中的三段论：大前提，小前提，结论。例如，有学生在解释圆为什么有无数条半径时说：“圆上有无数个点，所以圆有无数条半径。”这里，比较好的表达应该是：连接圆心和圆上任意一点的线段叫作圆的半径，圆上有无数个点，所以，圆有无数条半径。

（五）数学表达待简洁

表达的更高要求是让别人觉得妙，这就要求表达简洁。同样一样事，有些学生说了很多，别人还是不明白他要表达的意思;而有的学生一句话就让别人恍然大悟。例如，对于“为什么圆的周长比圆内接正六边形的周长长”，有的学生说，圆在外面，正六边形在里面，圆的周长肯定比正六边形的周长长;有的学生说，分别把圆和正六边形分成六等份，再进行比较，把每一部分都看作一个近似的三角形，三角形的两边之和大于第三边……也有学生说，不需要这么麻烦，两点之间线段最短，因此，正六边形相邻两个顶点之间的线段都比圆弧短，合起来正六边形的周长一定比圆的周长短。简单的一句话——两点之间线段最短，让所有学生都能听得懂、觉得妙。

五、反思：如此现状的成因

品读罗老师的课，再反观我们平时的教学，学生数学表达现状的成因很多可以在作为课堂教学主导者的教师身上找到：

（一）教师的教育观念

对于表达能力的培养，一般人认为，这是语文教师的事，数学教师没有必要操那份心。比如，这次活动之前，著名特级教师张齐华与其夫人（语文教师）有这样一段对话——夫人：最近在忙什么？张老师：准备“求真悟道”教学研讨中关于“表达”的主题研讨？夫人：表达？表达要你们数学老师操心吗？张老师：你们语文老师做好了，我们愿意操这份心吗？……其实，表达有所有学科共性的能力要求，也有各个学科个性的能力要求。而作为数学教师，更应该研究小学生数学表达能力的个性化要求，突出用数学语言表达数学思维。

（二）教师的培养态度

当然，有一部分教师也认同学生表达能力的培养是所有学科教师都要关心的话题，然而面对课堂中的四五十个学生，面对一节课规定的教学任务，面对部分学生表达的不准确、不严谨、不简洁，想指导，又觉得时间不允许。活动现场就有教师提出：如何处理好学习任务多与表达能力培养耗时的关系？对此，张齐华老师给出的答案是：磨刀不误砍柴工。一些刚入职的教师可能体会不到这句话的意义，他们眼中只有每节课的知识点，还没能关注到学生能力的培养。但我相信，时间会给他们答案。

（三）教师的自身素养

还有一种可能，也是最可怕的情况：教师平时教学中的表达随意性较大，缺乏准确性、严谨性和简洁性。例如，学习完圆的周长、面积计算后，教师一般都会让学生背诵常用的数据。有一个班的学生是这样背的：π等于3.14，2π=6.28……粗一听，好像没有问题。但是，他们在完成填空题“圆的周长是直径的（）倍”时，都写“3.14”，没有一个人写“π”。这里，学生对π的理解被教师固化为了3.14，就不准确了。

六、实践：数学表达能力的培养

数学表达能力的培养不是一朝一夕能够完成的，也不是一两次教学研讨能够搞定的，而是一个长期、系统的过程。由此，要构建有利于学生数学表达的课堂生态，让学生数学表达的培养成为常态。具体有以下几点：

（一）有清晰的目标

数学表达能力的培养目标可以分为长程目标和课时目标。

1.长程目标。

所谓长程目标，就是系列化地架构学生在小学六年的数学学习过程中，每个年级或学段在数学表达上应该达到怎样的能力标准。例如，在低年级，首先应该让学生说响亮话、完整话，然后应该让学生逐步学会运用一些数学术语，说规范话。到中年级，要让学生的数学表达合乎数学逻辑，逐步说得“有条有理、有根有据”。到高年级，要让学生不仅能较好地利用数学术语来表达，而且能自觉地运用一些数学特有的形式来表达，更重要的是，在数学表达中反映出数学的内在逻辑和思想方法。表1是我在教学中制订的总目标与年级目标。这样的序列化目标可以让教师根据学生年级特点，有意识地进行培养。

有据一年级声音响亮，口齿清晰，内容正确，能把思维过程表达完整、清晰二年级能使用一些数学术语有条理地说、规范地说，不重复他人表达的内容三年级能在别人发言的基础上补充，能初步运用数学语言表达自己的想法四年级能运用数学语言表达自己的思考过程和结果，能对自己的思考过程和结果进行解释五年级能对他人的发言作评价、补充、质疑问难、提炼汇总;能根据表达的内容，选择适切的数学语言，运用恰当的形式进行表达六年级能根据表达的需要，将多种数学语言进行恰当的转换;能反映出知识的内在逻辑和思想方法，做到言必有据2.课时目标。

数学表达能力的培养是在一节课一节课的教学过程中具体落实的，因此教师在设计每节课的目标时，除了知识技能的目标外，还要有清晰的数学表达的目标。在备课时，要设想课堂中，学生会进行怎样的表达——反映出来的就是学生的思维水平。例如，苏教版小学数学一年级上册《9加几》一课，可设定如下数学表达的目标：对于9+4=13，（1）口头语言：9和1凑成10，把4分成1和3，9加1等于10，10再加3等于13;（2）书面语言如图2。由此逐步引导学生准确地表达出思维过程。

（二）有有效的策略

1.创设数学表达的机会。

要根据学生的年龄特征、数学知识的特点，创设丰富多样的数学表达机会。例如，在新课引入环节，可以设计开放而有向的数学问题，引导学生进行个性化的探究，让学生创造性地表达自己的思维过程和思维结果;在此基础上，可以捕捉结构化的资源，引导学生进行充分的小组和全班互动交流，从而完善自己的数学表达，形成对数学知识的正确认识;在课堂总结阶段，引导学生回顾、反思学习过程，形成知识结构，发展数学思维。

另一方面，要舍得花时间给学生表达，在表达前要给足够的时间让学生体验、思考、组织数学语言、选择表达方式。千万不能一个问题刚出来，有一两个学生举手了，就让那位（些）学生回答。长期如此，回答问题的学生的思维会因为缺少有效的组织而导致不严谨;其他学生则根本没有得到思考、表达的机会，只是旁观者。

2.提高数学表达的机率。

提高数学表达的机率，就是尽可能地提高每一位学生的參与性，争取让不同层次的学生都有表达的机会，可以采取“个别学生表达”“学生自由表达”“小组内互相表达”等方式。比如，低年级教学中，“开火车”轮流回答数学问题的方式，可以让更多的学生获得数学表达的机会。再如，小组合作学习过程中，可以采取“小组内互相表达”的方式，让小组成员之间各抒己见，然后推举小组代表与班级内其他小组进行组间交流。

3.丰富数学表达的样式。

丰富数学表达的样式，就是给学生内容多样的表达载体。比如，为学生提供具有直观性、具体性的操作材料，引导学生动手实践，边操作、边描述，从而将语言表达训练融于其他数学活动之中。此外，学生在表达交流时，可以运用文字、符号、图像等多种语言。

学生数学表达的多样，需要教师有意识地培养。例如，教学苏教版小学数学五年级上册“钉子板上的多边形”时，对于最后的规律，有的学生用语言描述，有的学生用含有字母的式子表达。教师将多种表达方式并联呈现后，引导学生进行比较，不仅肯定了学生的研究成果，而且让学生体会到用字母表示的简洁性。

（三）有具体的方法

平时的课堂中，学生在表达时表现出的不准确、不严谨、不简洁都可以通过教师的指导得到提升。

1.深入辨析知识的本质，让数学表达更准确。

对于一些陈述性知识，学生数学表达的不准确，很多是因为对数学本质理解的不准确。对此，要让学生对关键的字词进行辨析。例如，教学三角形概念时，为帮助学生辨析“围成”的意义，我先出示图3，问学生：是不是三角形？为什么？怎样的图形才能是三角形？学生很快判断这两个图形不是三角形：一个是没有首尾相接，一个是没有围成封闭的图形。我再问学生：怎样的图形是三角形？学生都能注意到上述两点，只是不同的学生表达的语言不同。我再统一成：由三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。这样，学生对“相接”“围成”的理解是有活动经验的。通过对比，能对“组成”“围成”正确区分，相信以后的表达就能更加严谨了。

2.充分展现知识的形成，让数学表达更严谨。

小学数学中，有很多知识是程序性的，如解决问题的一般步骤等。对于这些程序性知识，我们要让学生充分经历知识的形成过程，体会知识推进的顺序，然后让学生说说自己之前的经历，学生肯定能严谨表达——正所谓“让经历升级为经验”。

例如，教学《9加几》一课，可以先分析学生的困难：（1）不完整——把4分成1和3，9加1等于10，10再加3等于13;（2）不理解为什么拆分4——学生第一次接触“凑十法”，还不能理解“凑十”的好处，对9+1凑成10的数感不强。在此基础上，提出数学表达的培养策略：借助情境，让学生明白因为9差1就能凑成10，所以只拿1个，由此理解算理，进而进行表达。

首先是行为操作：让学生动手操作，操作前想一想怎样让别人一眼就能看出是多少。学生有前面10加几的经验，自然会想到从4个中拿1个放到9个中，凑成10个。其次是表象操作：操作后，让学生说一说，我们是怎样拿的，为什么要先从4个中拿1个到9个中。最后是符号操作：让学生写一写，把操作的过程用符号表达出来。

3.比较数学语言的特征，让数学表达更简洁。

要提高数学表达能力，仅仅把要表达的内容想清楚是不够的。用什么语言表达也很有讲究，不同的语言有不同的表达效果。当学生用不同的数学语言表达时，教师要有意识地引导学生对几种语言进行比较，准确理解这几种语言的特征及其更适合哪些内容的表达。数学语言各有其优缺点。一般来说，数学思维用文字表达生动，用符号语言表达简练，用图像语言表达则直观形象;但是，有些问题用文字表达过于繁杂，用符号语言表达比较抽象，用图像语言表达又未必全面。

（四）有积极的评价

对于数学表达能力的培养，教师还需要充分发挥评价的激励、指导作用，让学生更乐于表达，想方设法表达得更完善。

1.借助评价激发学生数学表达的欲望。

万事开头难，特别是在班级还没形成积极表达的氛围或学风时，激发学生的表达欲望显得尤其重要。积极的评价就可以起到这样的作用。当学生表达完自己的想法后，不管对与错，教师都要找到肯定或鼓励的点，让学生体会，开心地结束本次表达。如果当中有正确的地方，就可以表扬正确的地方;如果没有正确的，但是是第一个发言的，就可以表扬他敢于第一个表达自己的观点;如果表达错误，却能引起全班的讨论、反思，就可以感谢他抛砖引玉，提供了很好的研究话题……要让学生真正感受到，只要是表达自己真实的思维，没有对与错，至少不会挨批评，可能还会获得表扬，从而让每一位学生都有表达的欲望。

2.通过评价指导学生数学表达的方法。

课堂上的评价权不只是教师的，我们也要发挥学生评价的作用。当学生表达完自己的想法后，教师可以组织学生评价，同时提出要求：先说别人表达中的优点，再给别人提建议。这样，学生在评价时，也能学到表达的方法和技巧。比如，“××同学运用了举例子的方法，我觉得很好”。这其实就是在指导表达方法：遇到说不清的时候，可以举例子。后面再表达的学生也就学会了举例子的方法。

3.运用评价提升学生数学表达的艺术。

表达的艺术有两层意思：第一层意思是指，广义的表达能够照顾到听众的感受，根据听众的反应灵活调整自己的表达，或者注意到听众的情绪，与听众形成互动，运用多种方式吸引听众。这里的艺术包括语腔语调、体态语言等等。另一层意思是指，在运用语言表达思维时，能让听众有醍醐灌顶、豁然开朗的感覺。这里的艺术就是把本来很复杂的问题、事情简明、直观地表达出来。例如，比较银河系和太阳系的大小关系时，这两者都是很大的事物，学生很难直观地比较。这时，如果借助图形语言进行表达，就很好理解了。正如《把银河系装进盘子里》中讲的：如果把银河系缩小到只有盘子那么大……我们的整个太阳系——太阳和八大行星——会变得比这粒微尘还要小，小到肉眼根本看不见（如图4）……它很好地表达了两者之间的大小关系。