分层介质等效电磁参数理论推导的新方法及仿真验证

曹斌照，王海涛，马 宁

分层介质等效电磁参数理论推导的新方法及仿真验证

曹斌照，王海涛，马 宁

（太原理工大学 物理与光电工程学院，山西 太原 030024）

基于电磁理论中极化强度矢量的定义和在电小尺寸条件下多层介质总阻抗的公式，用两种新方法推导出分层介质等效电磁参数的一般公式。两种方法的结果相同，也与现有文献中基于电容串并联方法的导出结论相一致。在此基础上，用分层复合介质构造了一种各向异性零折射率超材料，用COMSOL软件仿真了电磁波在常规介质和该种零折射率超材料分界面上传播的全反射现象，验证了该方法的正确性。

等效电磁参数；分层介质；电磁阻抗；全反射；电磁仿真

基于等效电磁介质理论分析电磁场问题是一种有效的研究方法[1-4]，也是研究新型人工电磁材料的一种有效手段[5]，如电磁隐形中的隐身层、构建各种电磁超材料、提取光子晶体的等效电磁参数等。该问题在本科教材《电磁场理论》和《电动力学》以及相关课程中很少提及，即使在电磁工程问题专著中也不多见[6]。文献中常用的推导的方法，是将分层介质填充于平行板电容器中，通过等效电容进行换算[7]，或利用平面电磁波的特征阻抗进行换算[8-10]。该方法虽然在一定条件下结论正确，但对于理解其物理意义却比较困难。其实，在经典电磁理论中，电磁参数的定义是基于电磁场对介质的极化或磁化等引入的，等效电磁参数的概念可从极（磁）化过程导出，物理意义较为鲜明，从而使该结论不仅适用于静态场，而且在时变电磁场的情况下仍能够成立。

1 模型及理论推导

以电介质为例，设两层厚度分别为1、2，横截面积均为，介电常数分别为1、2的均匀线性各向同性的介质处于外加电场0中，外加电场的方向分别沿介质的分界面和垂直于分界面，如图1所示。

图1 外加电场时不同介质构成的等效介质结构示意

1.1（准）静态场情形下等效介质公式的推导

对于静态场或准静态场情形，在图1(a)中，设外加电场0沿轴，令介质1、2中的电极化强度分别为1、2，电位移矢量分别为1、2，极化后总场强分别为1、2。由于电场强度切向分量的连续性，则1t＝2t＝。根据极化强度的定义式，有：

等效极化强度eff为

经过整理，可得

整理，可得

对于磁化过程中等效磁导率的推导，以及导电介质中的等效电导率的推导类同，也可以拓展到多层介质结构，在此不赘述。

1.2 时变电磁场情形下等效介质公式的推导

如图2为双层平板介质结构以及阻抗等效示意图。

图2 在基质中插入双层介质的等效阻抗

其中：

式中，i、i2分别为从介质1左端口看和从介质2左端口看的输入阻抗，C1、C2分别为介质1和介质2的特征阻抗，L为负载阻抗，1、2分别为电磁波在介质1和介质2的相位常数。

在图2(b)中，输入阻抗的表达式为

式中，i为左端口的输入阻抗，eff为厚度为1＋2的介质层的等效阻抗，L为负载阻抗，eff为等效相位 常数。

将式（5）代入式（4），整理得

由于图2(b)为图2(a)的等效图，故式（6）和式（7）应相等。即

由上式可推得

结果同式（2）。

2 零折射率超材料的构造及仿真验证

对于实际应用中的电磁超材料，往往是各向异性介质。设介质2的介电常数张量为

由式（9）可见，当2x＝0时，TM＝1，即可发生全反射。

图3 电磁波在两种不同介质分界面的反折射现象

为了验证上述理论的正确性，对介质2基于等效介质的理论公式（2）、（3），构建一种零折射率超材料。在图1中，选取1= 5，2= – 20，其单元厚度分别为1＝20 nm、2＝5 nm，总厚度为400 nm。

从图4可以看到：高斯波束在表面均可发生全反射。但随着入射波长的增大，在零折射率超材料中有少部分透射波出现。图4(c)、图4(d)中的波长大于叠层材料厚度。图5为高斯波束由空气斜入射到理想单轴结构零折射率超材料中的仿真结果，选用参数与图4相同，其结果与图4非常接近。这表明：用等效介质的方法构建各向异性零折射率超材料是可行的。

图4 叠层结构中对应于不同入射波长高斯光入射的电场分布

图5 理想零折射率超材料中对应于不同入射波长高斯光入射的电场分布

图6是在入射波为500 nm时取厚度分别为100 nm、200 nm和300 nm等几种不同叠层结构零折射率超材料的仿真结果。同样可见，当零折射率介质层较薄时，存在着较强的透射波，相当于多层介质层的反折射，尚不能达到零折射率超材料的等效结果。随着厚度增加，全反射效果逐渐明显。理论上讲，叠层结构的厚度为无穷大时才能实现完美的全反射，但在实际应用中，只要满足厚度足够大即可基本实现。

图6 不同厚度的叠层结构中对应于不同入射波长高斯光入射的电场分布

图7为上述高斯波束在入射波长为300 nm时，对叠层结构和理想单轴结构中分界面上的电场分布进行了数值提取，两种结构关于反射点（中轴线）具有很好的对称性，这进一步说明上述结构可达到较好的全反射效果。

图7 叠层结构和理想单轴结构中分界面上的电场分布

3 结语

用经典电磁理论中极化强度的概念和满足电小尺寸条件下的电磁波的阻抗公式两种新的方法，推导出多层介质等效电磁参数的一般公式，其仿真结果与现有文献的结论相一致。在此基础上，将该结果应用于零折射率超材料的构建以及全反射的实现，验证了理论分析结果的正确性。更深入的研究还可以考虑对古斯-汉森效应的影响[12]。该结论对于深入理解电磁理论中相关概念及设计新型电磁超材料具有一定的意义。

[1] CAI W, SHALAEV V. Optical Metamaterils: Fundamentals and Applications[M]. New York: Springer, 2010.

[2] 王斌，邢兰昌.含天然气水合物多孔介质电参数测量系统的仿真实验研究[J].实验技术与管理，2018, 35(8): 139–143, 156.

[3] 王晗，李敏浩，陈新，等.基于ANSOFT15.0等效磁路理论应用仿真与实验[J].实验技术与管理，2014, 31(1): 91–93, 97.

[4] 孙坚，黄杨，潘涛，等.金属纳米球颗粒的非局域等效电磁参数[J].大学物理，2015，34(12): 9–13.

[5] 徐艳丽，梅中磊，罗姣莲.一种斜层复合结构及其在吸波材料中的潜在应用[J].量子电子学报，2018, 35(3): 353–358.

[6] 龚中麟.近代电磁理论[M]. 2版.北京：北京大学出版社，2010: 75–77.

[7] 梅中磊，曹斌照，李月娥，等.电磁场与电磁波[M]. 1版.北京：清华大学出版社，2018: 56–57.

[8] 杨河林，程用志.平面分层介质的有效电磁参数[J].大学物理，2009, 28(12): 8–9, 15.

[9] 马如慧，刘生春.多分层介质中平面电磁波的传播特性分析[J].现代电子技术，2008, 14(19): 36–38.

[10] ROUSSELLE D, BERTHAUH A, ACHER O, et a1. Effective medium at finite frequency: theory and experiment[J]. Appl Phys Lqtt, 1993, 74(1): 475–479.

[11] 谢处方，饶克谨.电磁场与电磁波[M]. 4版.北京: 高等教育出版社，2006: 238–239.

[12] XU Y D, CHAN C T, CHEN H Y. Goos-Hanchen effect in epsilon-near-zero metamaterials[J]. Scientific Reports, 2015, 5: 8681. DOI:10.1038/srep08681.

New method for theoretical derivation of equivalent electromagnetic parameters of layered media and its simulation verification

CAO Binzhao, WANG Haitao, MA Ning

(College of Physics and Photoelectric Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Based on the definition of polarization intensity vector in electromagnetic theory and the formula of total impedance of multi-layered dielectrics in small size, two new methods are used to derive the general formula of equivalent electromagnetic parameters of multi-layered dielectrics. The results of the two methods are the same and are consistent with the conclusions derived from the capacitor series-parallel method in the existing literature. On this basis, an anisotropic zero refractive index metamaterial is constructed by layered composite medium. The total reflection phenomenon of electromagnetic wave propagating on the interface between conventional medium and zero refractive material is simulated by COMSOL software, and the correctness of this method is verified.

equivalent electromagnetic parameter; layered media; electromagnetic impedance; total reflection; electromagnetic simulation

O411.1

A

1002-4956(2019)09-0092-04

2019-03-09

2016年山西省高等学校教学改革创新项目（J2016013）；2016年太原理工大学本科教育教学改革项目（ZD001）；2017年教育部高等学校物理类专业教学指导委员会研究项目（JZW-17-SL-03）；2017年教育部高等学校大学物理教学指导委员会研究项目（DWJZW201705hb）；2018年山西省质量工程研究生教育教学改革课题（2018JG25）

曹斌照（1967—），男，山西吕梁，博士，副教授，主要从事电动力学、数学物理方法和大学物理的教学与研究。

E-mail: caobinzhao@tyut.edu.cn

10.16791/j.cnki.sjg.2019.09.023