关注三个结构，理解数学教学

陶春锋

无论是我们正身处其中的课程改革，还是即将面对的核心素养，都离不开一个基本的前提，那就是对学科教学本身的认识. 经验视角下，教师对学科教学的认识，仅仅是对学科知识教学以及应试关系的认识，而这样的教学显然不足以支撑教师教学. 准确地说，其既无法支撑自身对所教学科的理解，同时也不能有效地引领学生对学科以及学科学习的准确理解. 研究表明，对学科教学的理解，离不开对三个结构的认识，这三个结构分别是：知识结构、认识结构以及认知结构. 而布鲁纳等人的认知观点认为：学生的学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用（同化），形成新的认知结构的过程[1]. 本文试以初中数学为例，谈谈如何在此三者认识的基础上，更好地实现对数学教学的理解.

知识结构，彰显学科知识的逻辑体系的认识

数学知识都是以一定的形式存在的，不同数学知识之间是靠逻辑关系连接的. 简单点说，数学知识结构是由数学概念和命题构成的数学知识体系[2]. 在这个架构中，存在着基本的结构通常有三种，一是序结构，二是代数结构，三是拓扑结构，初中数学通常只研究其中的代数结构并且是其中最基本的代数结构. 当然，在这个知识结构中也存在着基本的数学思想方法，其作为数学知识结构中用以保障不同数学知识之间联系性、整体性与层次性的重要，因此有着不可忽视的价值.

以“解一元一次方程”的教学为例，从知识结构的角度看本课的内容，笔者以为需要以一元一次方程这个知识点为中心点，关注与其相关的其他知识及其表现出来的结构关系，具体说包括这样的几个方面：

一是居于中心点的一元一次方程. 要解一元一次方程，当然需要关注一元一次方程的中心地位，此前学生已经学过算式与一元一次方程的关系，知道了一元一次方程是与算式地位相同但却可以更便捷地体现数量之间的等量关系的表现手法，其与算式不同之处在于需要借助于一个未知数来建立等量关系.

这样的认识对于学生来说是重要的，因为只有明确了这个关系，才能理解求解一元一次方程的本质，就是利用等量关系确定未知数的值. 根据笔者的教学经验，这样的理解对于习惯于机械模仿（设x）的学生来说，极为有益.

二是等式的性质. 既然要借助于等量关系来解一元一次方程，那很显然其中所要运用到的逻辑关系，主要就是借助于等式的性质来进行的. 在解一元一次方程之前，有专门的等式的性质这一内容呈现，这实际上就意味着两者之间是有密切联系的，是以一元一次方程为中心点的知识结构中的两个具有直接联系的知识点.

而对于学生来说，利用等式中的“等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍然相等”这样的等式的性质，就可以完成对一元一次方程的变形，从而为解方程提供空间.

三是解方程的基本思路与方法. 通常情况下，解一元一次方程教学的第一个内容，就是利用合并同类项和移项的方式，而要掌握这一基本思路与方法，教师创设情境是必需的. 从这个角度讲，其实问题情境也算是知识结构中的一个组成部分. 而稍有经验的教师都知道，这个情境其实就是简单的一元一次方程赋予实际生活中的事物关系，然后让学生去求解.

对于学生来说，具有一定情境支撑的问题，可以让学生直接利用形象思维进行加工，这对于初中学生来说尤为重要，因为初中学生本就擅长于形象思维，具有情境支撑的知识教学中，学生更容易掌握一元一次方程解决的基本思路与方法.

认识结构，面向数学学习过程中的心理过程

相对于客观的知识结构而言，认识结构则具有更多的主观特征，因为知识结构映射在学生的思维当中，并体现为认识结构时，其与学生的学习过程密切相关，说得更具体一点，就是与学生学习过程中的心理过程密切相关.

有研究者将认识结构描述为“人在认识活动中的心理过程和个性差异”，其中心理过程包括感觉、知觉、思维、记忆、注意等，而个性差异则是指性格与能力. 很显然，只有良好的认识结构才能支撑起学生理解知识结构并形成认知结构（下一点详述）. 那么，如何认识初中数学学习中的认识结构呢？这里仍然以“解一元一次方程”为例来进行解构.

在给学生创设了问题情境之后，学生首先要运用注意心理，因为对情境的注意，是学习发生的基础. 这提醒我们在创设情境的时候，要以学生感兴趣的素材为载体，如人教版课本上利用的是学校购买计算机的例子来给出问题情境的，实际教学中可以转换为学生更感兴趣的购买近期老师布置的某个书籍、班级统一的服装等，同时要注意情境题材又不可过于新颖，因为这反而容易分散学生的注意力，使得注重的注意力从解方程向素材本身集中，这是得不偿失的，因此情境创设切忌哗众取宠.

保证了注意之后，教师就需要关注学生学习过程中的心理加工过程. 对解一元一次方程而言，学生首先要寻找问题中的等量关系进而建立方程，如上例中“某班图书角三年购书140本，其中去年是前年的2倍，今年是去年的2倍，那这三年分别购书多少本？”这个例子中建立的等量关系就是x+2x+4x=140（设前年购书为x本）. 这个等量关系中，要求x并不难，其对于寻找解一元一次方程所需要的合并同类项方法的认识是有好处的，因为学生几乎通过直觉就可以发现需要将等式左边的三个包含x的项进行相加，因此这里教师要引导的就是将学生产生的“相加”认识，提升为“合并同类项认识”，如此即可以丰富学生的认识结构. 至于移项，显然需要的是一个新的情境，其具体操作过程与此类似，不再赘述.

其实在研究认识结构的过程中，教师还有一个关注点不能忽视，那就是学生之间的个体差异. 这是一个我们常常挂在嘴边的词，但却未必真正懂得如何去描述学生的个体差异. 笔者以为在初中数学教学中，个体差异不是用学生的解题结果与考试分数来描述的，而是用观察力、记忆力、思维力、想象力来描述的. 同样的情境提供之后，教師要关注不同学生在观察、体验情境时所表现出来的差异，要比较不同学生的思维结果并反推其思维过程，以发现思维发生错误者是如何思维的，从而可以为学生的错误思维准确把脉. 当然，如果要从经验角度去比较学生的数学学习差异的话，教师还可以从学生的思维活跃程度、想象力是否丰富、记忆内容的多少等角度来进行判断，这样的选择可以让经验与学生的心理因素结合起来，从而对更多的教师具有适应性.

认知结构，学生学习中认识水平的组织方式

认知结构应当是数学教师比较熟悉的一个概念，数学认知结构是数学知识结构与学生个体心理结构相互作用的产物[3]. 其实这个概念是与學习心理学密切相关的，因为认知本身就是一个心理学概念，认知结构与知识结构不同之处在于，前者是客观存在的结构，数学发展到一定阶段，其总是以一定的结构形式存在的;而同样的知识结构，在不同学生个体的认识结构作用之下，最终表现出来的认知结构是不同的. 客观地讲，学习优秀者，其认知结构与知识结构是较为接近的，而学困生的认知结构则多是残缺不全的，是不利于在问题解决需要的情况下调用的. 但无论是面对资优生，还是面对学困生，提高他们数学学习成绩乃至于培育他们的数学学科核心素养，完善认知结构总是最根本的方法.

认知结构的形成主要有两种形式：一是同化，一是顺应. 前者是以已有的认知结构去吸纳新的知识，其中的知识点以及方法都是学生熟悉的;后者是原有的认知结构不足以解决新的问题，因此需要对原有认知结构做出改变，以适应新的问题情境. 其实看到这里应当发现，不同学生在面对同一个问题的时候，所选用的形式往往是不同的，极有可能出现资优生同化而学困生顺应的情况，原因就是学困生的认知结构不完整，需要做出调整，而如果无法及时做出调整，即无法完成顺应的学习过程，那学困生将继续学困下去.

所以说，在初中数学教学中，帮学生完善数学知识的组织方式非常重要，教师往往要面向中下等学生设计教学，以确保他们能够在不断的学习中使自己的认知方式得到完善，使自身的认知结构得到充实与发展. “解一元一次方程”的教学中，一定要遵循循序渐进的方式，老老实实地给简单情境，让学生列方程，并根据等式的性质去求解. 而在总结解方程的流程“合并同类项——化系数为1”的时候，更要让所有学生参与，并形成一种模式化的思路，这样学生才能“入模”，待学生的认知结构完善之后再“出模”，那解方程的思路就会内化了，解方程的技巧也会更熟练了.

参考文献：

[1]徐希扬. 数学教学中学生认知结构的优化[J]. 中学数学研究，2011（7）：3-4.

[2]徐进勇. 教学设计要重视知识结构向认知结构转化——以苏教版“导数的应用（函数的单调性）”为例[J]. 上海中学数学，2016（10）：6-8.

[3]学吴琳.论数学认知结构及其教学构建[J]. 中学数学教学，2003（6）：9-10.