建模思想在初中数学复习中的应用

☉甘肃省张掖市山丹育才中学 刘 荣

所谓“数学模型”，是指用数学符号和形式化的语言，对某一研究对象的主要特征、关系进行抽象性和概括性的表述.“数学建模思想”作为一种数学思想方法，就是将需要解决的数学问题，通过转化，化归为已经解决或容易解决的数学问题，并综合运用所学的数学知识和技能进行求解.

一、建模思想类型题的特征

在历年中考中，数学建模思想类型题越发突出，大多考查数学思想和方法的灵活运用，主要体现在解决生活中的实际问题的应用题.

1.主要特征

（1）“新”.创设“新”情境，提出“新”问题，富有“新”含义，生成“新”感悟.

（2）“熟”.题型所选择的背景材料都源自学生较为熟悉的日常生活中，具有时代的气息，并富有教育价值.

（3）“深”.引导学生从具体的生活实际中感悟抽象的数学意义，有着较深的立意，培养学生对数学模型的运用能力和应用数学的意识，其中涉及的数学知识较“易”，却具有较高的思维价值，读懂读透是一道难关.

（4）“活”.题目以考查学生的综合运用能力为主，注重能力的考查，在解题方式上具有较强的灵活性，充分体现了数学学科核心素养.

2.解答步骤

（1）建模.在解题的过程中，数学建模是解题的基础.所谓“建模”，也就是说，在读懂和理解的基础上，将问题的本质转化为数学问题.

（2）求解.灵活运用所学知识和技能，分析数学模型，进而解决纯数学问题.

（3）分析.对借助模型求解的结果进行分析，并做出预测、判断及控制.

（4）检验.借助实际现象和一些数学去检验模型是否合理、实用和正确，而后写出结论.

二、中考命题的走向和建议

笔者翻阅往年的中考试题发现，不少方法类试题和函数图像相结合，与学生的日常生活贴合度较高，透过研究函数的数学性质去考查学生对函数知识的实际应用能力，尤其是运用函数解应用题这种题型出现频率比较高.因此，教师应当予以重视，积极引导学生体会数学思想方法，关注知识的梳理，并归纳内在的关联.

很多时候，教师以教材知识的传授为主，重视教材中的概念、定理、公式、证明、计算等，却忽视日常生活与数学知识的关联，导致学生解决实际问题时束手无策，无法综合运用数学知识去解决纵横交错的实际问题.

因此，教师需引导学生关注热点生活情境，关注数学知识与日常生活的联系，实现真正意义上的数学源自生活实际，又可以创造性地解决生活实际问题；收集数学实例，在进行课题学习时，给学生创设更多实践操作的机会，引导其进行分析、推理、转化、迁移，树立应用数学的意识.当然，建模思想必不可少，数学教师还需引导学生建构数学模型，进而解决实际问题.

三、中考中建模思想的应用

在中考综合复习的过程中，需以数学教材作为介质，不断改革教学方法，并借助观察、搜集、比较、归纳、转化等一系列活动，科学地加工和处理情境式应用题，进而建构数学模型，提升数学能力.

1.方程（组）模型

所谓“方程（组）模型”，也就是借助方程（组）模型去探究日常生活中的数量关系，进而解决生活实际问题.借助抽象化的“方程（组）模型”，在清晰的数量关系中展现实际问题，使人们对日常生活中的打折、销售、储蓄利率、分期付款、工程问题等有一个理性的认识.

例1某工厂生产机器，在第一季度共生产甲和乙两种机器共480台.而后进行技术改进，并制定计划在第二季度共需生产甲和乙两种机器共554台，且甲机器的产量需比第一季度的产量增加10%，乙机器的产量需比第一季度的产量增加20%.请问：这家工厂在第一季度生产了多少台甲机器和多少台乙机器？

2.不等式（组）模型

在人们的日常生活中，数量之间的不等关系遍及每一处，如市场营销的一些方案设计问题等，都可以通过剖析数据，建立相应的不等式模型，进而解决实际问题.

例2一超市销售多种商品，其中甲型商品一件进价为10元，以15元的价格售出；乙型商品一件进价为30元，以40元的价格售出.

（1）假如这一超市一次性购进80件甲型和乙型两种商品，进货总价为1600元，请问：购进的甲型和乙型商品各为多少件？

（2）这一超市为达到甲型和乙型商品一共80元的总利润（利润=售价-进价），进货总价比600元多，但不能超过610元，请你设计出合理的进货方案.

3.几何模型

几何和人们的日常生活息息相关，如建筑、测量、道路的拱桥设计等都会牵涉到图形的性质问题，学生需将一些生活问题抽象转化为几何问题，从较为复杂的图形中将基本模型分离出来，进而解决.这类几何建模问题，在中考中主要考查学生的数学思想.

例3如图1所示，该纸片为正方形，此正方形ABCD的边长是3，点E位于边BC上，点F位于边CD上，折叠该纸片，将边AB和AD沿着边AE和边AF向内侧折叠，使点B和点D重合在点G上，现有BE=1，请问：EF的长为多少？

4.函数模型

函数展现的是事物之间的普遍关联，体现了实际中纵横交错的数量关系和运动规律.日常生活中的很多问题，如最小成本、获利最大、最优化方案等，都可以通过函数模型求解.笔者探究发现，在中考中函数模型发挥着举足轻重的作用，分值也是显而易见的，堪称中考热点题型之一.

例4某一商店进购一批商品，其进货价格为每件60元，并以每件80元的价格卖出，每月可卖出300件，经调查显示：在单价上升1元的情况下，此商品每个月的售出量则相应减少10件.

（1）请写出每个月售出此商品的利润y（元）和单价上升x（元）之间的函数关系式；

（2）当单价是多少元时，此商品每个月销售的利润达到最高值？获取的最大利润是多少？

5.建立概率模型

概率问题，在经济、管理、自然科学等各种领域都有涉及和应用.比如，彩票的中奖率、预测比赛的结果等问题，都可借助概率模型解决.

例5现有不透明的袋子中装有编号为1、2、3、4的四种形状、大小、质量完全相同的圆形小球，甲、乙两人完成游戏：两人各自从袋子中取出1个球，而后将两个人手上的小球编号相乘，当积是奇数时，判甲获胜；当积是偶数时，判乙获胜.问：你认为这个游戏规则公平吗？请借助概率进行阐述.

6.统计模型

统计这一类型的应用题，在科学领域和人类生活中都起着广泛的作用.这种题型主要检测学生的统计思想、综合应用能力和分析并处理数据的能力，借助收集数据、分析数据，进而做出合理化的决策.如竞聘选举、投标问题、公司招聘等，将日常问题抽象转化为统计模型，借助统计的相关知识解决.

例6一单位打算从单位内部竞聘出一位管理人员，现有出A、B、C三名候选人，经历笔试和面试两场测试后，三人的成绩如表1所示：按照流程还需组织民主投票，单位共200名员工，投票（不可弃权，且每人只能投1票）后，每获取1票便得1分，A为25%，B为40%，C为35%.

（1）请算出A、B、C三人的民主投票得分情况；

（2）如何根据笔试、面试和民主选举这三场测试的平均成绩确定竞聘人选？

（3）假如按实际需求，该单位根据笔试、面试和民主选举三场测试的分数以比例4∶3∶3来确定人选，请问：A、B、C三人中，哪一位会被选中？

表1

总之，帮助学生建构模型解决应用问题可以积极、有效地提升学生的数学知识、数学技能和综合能力.复习课的精彩，需要数学教师有效整合知识，总结数学方法，渗透数学思想，进而培养应用能力，启迪学生的数学灵感，培养学生的思维品质.