永磁同步电机的有限时间动态面位置跟踪控制

胡成江,于金鹏,于海生,付 程

(青岛大学，青岛 266071)

0 引 言

永磁同步电动机(以下简称PMSM)相比于其他电动机结构简单、易于维护、能量转换效率高，因此，PMSM在工业控制领域中应用广泛。PMSM的矢量控制方法可以保证系统有良好的稳态响应，但是动态响应较差。考虑到PMSM的动态模型是一个非线性和强耦合的模型，目前对PMSM的控制仍然是一个热门问题。为了实现对PMSM驱动系统的高性能控制，专家学者们提出了很多非线性控制方法，如反馈线性化控制[1]、滑模变结构控制[2]、自适应控制[3,7]、反步控制[4-5]和动态面控制[6]等控制方法。

反步控制技术是非线性控制领域的一大突破，反步控制技术可以保证系统的跟踪效果，提高系统的瞬态性能，但是反步控制算法中的“计算爆炸”问题，使其不能得到广泛的应用。1997年，Swaroop D 提出了动态面控制技术[19]，动态面技术与反步控制技术相结合，通过引入一个低通滤波器，解决了反步控制算法中“计算爆炸”的问题。文献[6]将动态面控制技术运用到非线性动力系统控制中，在解决系统“计算爆炸”问题的同时，使系统的跟踪误差在规定的范围内，同时闭环系统其他的所有信号被限制在一个小的邻域内。文献[18]将动态面技术运用到PMSM控制中，构造了一个自适应动态面控制器，避免了反步控制算法中的“计算爆炸”问题，但系统的跟踪误差在时间趋于无穷大时，才能达到理想的跟踪效果。

在另一个研究领域上，有限时间控制技术[12-15]具有响应更快、跟踪精度更高和抗干扰能力更强的优点，文献[20-22]研究了高阶非线性系统的有限时间控制，但只考虑了稳定性问题，然而在一些工程应用中的跟踪问题也应该得到解决。有限时间控制技术[13，22]运用到跟踪控制中可以达到更理想的效果。动态面反步控制技术可以有效地解决非线性系统的跟踪问题，但是如何在动态面反步控制的基础上，使跟踪误差能够在有限时间内达到理想的效果这一问题仍未解决。

基于上述问题，本文研究了PMSM的有限时间动态面跟踪控制技术，引入神经网络技术[8-11]来逼近系统中存在非线性未知项，通过自适应技术解决了神经网络控制算法中存在参数未知的问题，利用动态面控制解决了反步控制算法中不可避免的“计算爆炸”问题，在保留动态面自适应神经网络反步法优点的基础上，引入有限时间技术[12-15]，提高了系统的收敛速度，本文的控制方法，与目前PMSM控制方法相比，主要的优点如下：

1)与文献[18]的控制技术相比，引入有限时间控制技术，提高了系统的收敛速度。

2)与文献[4]的控制技术相比，本文采用了动态面控制技术，解决了传统反步控制技术中“计算爆炸”的问题。

3)控制器只需一个自适应律，减小了在线计算时间，更适于工程应用。

1 建立PMSM数学模型

在d-q坐标下，PMSM的数学模型：

式中：Θ为转子角度;id和iq分别为d轴和q轴电流；ud和uq分别为d轴和q轴电压;Rs为定子电阻；ω为转子角速度;Ld和Lq分别为d轴和q轴电感；p为PMSM的极对数；J为转动惯量；B为摩擦系数；T为电磁转矩；TL为负载转矩；Ψ为磁链。

PMSM模型可以表示:

引理2[13]：任取xi∈R，i=1,2,…，n，0

式中：vi=[vi1,…，viq]T是接受域的中心；qi是高斯函数的宽度。由文献[17]可知，给定标量ε>0，选择足够大的l，RBF-NN能够在紧集Ωz⊂Rq下逼近任何连续函数：φ(z)=ΦTP(z)+δ(z),∀z∈Ωz⊂Rq，其中δ(z)为跟踪误差，跟踪误差满足|δ(z)|≤ε；Φ是为分析而定义的未知的理想权向量，Φ的取值为Φ*时,使|δ(z)|在z∈Ωz中取得最小值，其定义如下：

2 PMSM系统控制器设计

定义系统误差变量，其中xd为给定的期望：

(1)

(2)

构建虚拟控制函数：

(3)

式中：k1>0，引入一个新的状态变量α1d，使α1通过一个时间常数为1的一阶滤波器：

(4)

将式(1)、式(3)、式(4)代入式(2)，得：

(5)

(6)

(7)

构建虚拟控制函数：

(8)

(9)

将式(7)～式(9)代入式(6)，得：

(10)

(11)

(12)

设计其真实控制律uq：

(13)

将式(12)和式(13)代入式(11)，得：

(14)

z4[f4(Z4)+c3ud]

(15)

(16)

将式(16)代入式(15)中，得：

(17)

设计其真实控制律ud：

(18)

定义θ=max{‖φ2‖2,‖φ3‖2,‖φ4‖2}，将式(18)代入式(17)，得：

(19)

(20)

得到如下等式：

(21)

(22)

式中：

D1=-α·1

D2=-α·2}

(23)

取自适应率：

(24)

式中：m1,r1和li(i=2,3,4)均为正数。

3 稳定性分析

选择如下Lyapunov函数：

(25)

式中：r1为正数。对V求导，得：

(26)

将式(24)代入式(26)，得：

(27)

由文献[18]可知，|Di|在紧集|Ωi|上具有最大值Dim(i=1,2),|Di|≤Dim，由此可得以下不等式：

(28)

式中：τ>0。由杨氏不等式得：

(29)

(30)

(31)

将式(28)～式(31)代入式(27)，得：

(32)

(33)

(34)

由式(33)和式(34)可得：

(35)

同理，可得：

(36)

(37)

由上式可得：

(38)

由式(38)可得：

(39)

在真实控制律uq和ud的作用下，PMSM控制系统在有限的时间内达到稳定状态，其位置跟踪误差在对应的时间内收敛于原点周围期望的邻域内，由此证明该方法是有效的。

4 对比实验分析

为了验证本文的PMSM有限时间动态面跟踪控制技术在控制系统中的有效性，在MATLAB环境中进行仿真。PMSM的数学模型中电机及负载参数如下：J=0.003 798 kg·m2,Ld=0.003 15 H,p=3,Lq=0.00285H,B=0.001158N·m/(rad·s-1),Rs=0.68 Ω,Ψ=0.124 5 H。

控制器参数选取如下：k1=6,k2=75,k3=65,k4=430,r1=0.05,l2=l3=l4=3,m1=0.05,1=59,2=2,γ=0.818 1,s2=6,s3=15,s1=7.5,s4=114。

在PMSM零初始状态下进行仿真，给定的期望跟踪信号xd=sint，设定其负载转矩：

仿真结果如图1～图5所示。

图1为在有限时间动态面反步法控制下仿真结果，图2为在动态面反步法控制下仿真结果，由图1和图2可知，与动态面反步技术相比，有限时间技术可以提高系统的收敛速度。系统在两种方法控制下的位置跟踪误差波形对比如图3所示，引入有限时间控制技术后PMSM位置跟踪误差更小，系统的抗干扰能力更强。图4为图1控制方法下d轴电压和q轴电压的波形图，由图4可知，ud和uq的值都稳定在一定范围内。图5为动态面控制技术下d轴电压和q轴电压的波形图。

图1有限时间动态面反步法控制下x1和xd的波形

图2动态面反步法控制下x1和xd的波形

图3两种控制方法下跟踪误差(x1-xd)

(a) 控制器输入信号ud

(b) 控制器输入信号uq

图4有限时间动态面反步法控制下的输入信号

(a) 控制器输入信号ud

(b) 控制器输入信号uq

图5动态面控制下的输入信号

与文献[18]的动态面控制技术相比，本文引入了有限时间控制技术，加快了系统的收敛速度，减小了系统的跟踪误差，提高了系统的鲁棒性。

5 结 语

本文将有限时间方法和动态面反步法相结合，实现了PMSM的非线性位置跟踪控制，仿真分析结果表明，将有限时间技术与动态面反步法相结合，保留了动态面反步法的优点之外，在缩短系统收敛时间的同时，减小了系统的跟踪误差，提高了系统的鲁棒性。