数学问题解答

2019年7月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

2491已知a,b,c≥0,ab+bc+ca=1,求证:

(陕西省咸阳师范学院教育科学学院 安振平 712000)

证明所证不等式等价于

等价于

等价于

等价于

等价于

≥4(a+b+c),

等价于

(a+b+c-2)2+

等价于(a+b+c-2)2+

显然，这是成立的，获证.

2492已知，如图，CD、BE交于G，并分别交AB、AC于J、K，DK交AB于H，EJ交AC于I，DI与EH交于F，证明：A、F、G三点共线．

(江西师范高等专科学校 王建荣 335000)

证明假设AG分别交DI、EH于F、F′，

分别连AD、AE、GH、GI，

由梅氏定理

把上式代入W：

因此F、F′重合，故A、F、G三点共线．

2493求证：在△ABC中，有

上式取等号，当且仅当△ABC为正三角形．

(湖北省谷城县第三中学 贺 斌 李至军 441700)

证明首先，在△ABC中，∀x,y,z∈R，有

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC．

(1)

事实上

(x2+y2+z2)-2(yzcosA+zxcosB+xycosC)

=(x-ycosC-zcosB)2+(ysinC-zsinB)2≥0．

所以(1)式成立．并且(1)式取等号当且仅当

其次,由(1)变形得

(x+y+z)2≥2yz(1+cosA)+2zx(1+cosB)+2xy(1+cosC)

并注意到在△ABC中有以下恒等式：

(2)

(3)

(4)

于是，有

由证明过程知，上式取等号当且仅当

即△ABC是正三角形．证毕．

2494ABCD对角线交于点O，线段OD上有点E，线段OA延长线上有点F，求证：BD·BE=AC·CF，A、B、C、E四点共圆，B、C、D、F四点共圆，这三个条件任意知道两个，可得第三个.

(华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心 彭翕成 430079 )

证明BD·BE=AC·CF等价于

①

A、B、C、E四点共圆等价于

②

B、C、D、F四点共圆等价于

③

易得①-②-③=0，于是一举证明三个命题.

2495设n∈N*且ai>0(i=1,2,…,n)，

(安徽铜陵市第一中学 陈良骥 244000)

证明(1)当n=1，原式左=右=1.显然成立.

(2)当n≥2时，先证明一个引理.

引理：设n∈N*，n≥2，xi>0(i=1,2,…,n)，且x1x2…xn=1.则有

引理证明：由均值不等式得

则有xi>0(i=1,2,…,n)，且x1x2…xn=1.

其中中间不等号利用了引理.

综上所述，原不等式成立，当且仅当ai=a1(i=1,2,…，n)时取等号.

2019年8月号问题

(来稿请注明出处——编者)

(浙江省富阳二中 许康华 311400)

2497已知：如图，在线段AB中垂线上取两点C、D(不是AB中点)．直线AD与BC相交于点E，直线BD与AC相交于点F．过A作AE的垂线，过B作BC的垂线，这两条垂线相交于点X．求证：∠CXF=∠DXE．

(重庆市长寿龙溪中学 吴 波 401249)

2498设△ABC三边长,三个旁切圆半径分别为

a,b,c,ra,rb,rc,则有

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

2499如图，O为△ABC内一点，AO平分∠BAC．过点A的直线MN∥BC，射线BO分别交AC,MN于点P,M，射线CO分别交AB,MN于点Q,N．求证：AB=AC的充要条件是PM=QN．

(江苏省兴化市第一中学 张 俊 225700)

2500设n是正整数，且n≥3，证明：对正实数x1≤x2≤…≤xn，有不等式

≥x1+x2+…+xn.

(上海市七宝中学 李佳伟 201101)