高考数学北京卷试题对弘扬数学文化的探索①

王雅琪 于伟东 汪燕铭

(1.北京教育考试院 100083；2. 北京交通大学附属中学 100081；3. 北京师大二附中 100088)

“数学文化”一词，是由美国数学家怀尔德(R.L.Wilder)于1981年在他的代表作《作为一种文化体系的数学》(Mathematics as a Culture System)中提出的，他从数学人类学的角度提出了“数学 —— 一种文化体系”的数学哲学观．这一观点，为研究数学的发展带来了一个新的视角．同时，也为数学教育的研究带来了很大影响．

越来越多的学者开始关注对“数学文化”的研究，并从定义及其内涵，发展的历史，在数学教育中的重要作用等若干方面提出了自己的研究见解．然而，迄今为止在学术界并没有一个对“数学文化”的统一定义．《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下文中简称《课标(2017版)》)中借鉴了诸多学者的观点，指出: “数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动．”[1]关于“课程的性质与基本理念”，《课标(2017版)》明确提出要在高中数学课程中“注重数学文化的渗透，强调数学与生活以及其他学科的联系”，并在“高考命题建议的命题原则”章节中，强调了考查内容要“融入数学文化”．

“数学文化中体现出来的人文价值和科学价值，在培养学生数学素养的教育中扮演着重要角色，也是高考试题的重要考查内容．”[2]基于对 “数学文化是在人类生活、科学技术、社会发展中与理性思维有关的精神活动及其产品”的认识，高考数学北京卷一直进行着有益的命题探索与实践工作．积极努力地探索如何将“数学文化”的考查要素落实于试题中，落实于体现数学学科的核心素养里．在命题设计中，致力于将数学知识与数学学科的核心素养有机结合，通过编制的试题，引导学生“会用数学的眼光观察世界；会用数学的思维思考世界；会用数学的语言表达世界．”

高考数学北京卷力争把数学文化中的理性精神和勇于克服困难的科学态度考出来，把数学文化中严谨的分析问题解决问题的思维方法考出来．在素材选取上既关注中国古代数学，提炼文化精髓，弘扬传统文化，也兼顾近现代中外数学文化的发展，在对素材的总结提炼过程中充分发掘其中理性思维的成分．

1 融于人类生活，用理性思维指导日常活动

“数学源于实际生活， 随着科学研究的发展和进步，数学概念与方法空前广泛地渗透到数学之外的其他学科领域和我们的生活．”[3]运用数学的思维，通过数学的语言来解决实际的问题，考查学生将数学应用于实际问题的分析和处理能力是数学文化考查的一个重点．要求学生具有一定的建模意识，能够从真实的场景中将数学模型提炼出来，然后应用对应的数学规律刻画有关量之间的关系，进而完成问题解决．高考数学北京卷历来注重对学生数学建模意识的考查．

例1 2019年高考数学北京卷文理科第14题

李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

① 当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

本题以大学生自主创业为背景，需要学生建立相应的数学模型来解决这个实际问题．通过运用归纳、分析、推理的方法理解题意，从中提炼出数学模型，在模型分析的过程中，形成建模意识、发展理性思维．

数学语言是数学文化的重要组成部分，对数学语言的正确理解是学习数学文化的重要途径，学生需要具备通过阅读数学文本理解提炼数学模型的能力．数学文本的表达形式经常包含图表、图像等，这种文本被称为非连续文本，对于非连续文本的阅读理解需要学生把图表转化为有用信息、对信息进行再加工、从所获取的信息中提炼出数学模型，再应用所掌握的数学知识解决问题．高考数学北京卷在关注非连续性文本阅读能力的考查上，做了一些探索工作．希望可以让学生体会提取加工的过程，即在非连续文本中提炼有效信息，排除干扰，确定已知和未知，找到它们之间的联系，选择解决问题的途径．

例2 2017年高考数学北京卷理科第14题

三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1,2,3.

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工，则p1,p2,p3中最大的是________．

本题以工人加工零件为背景，条件以坐标的形式给出，学生需要从坐标中读懂零件加工时间和件数的相关信息，在解决第一个问题时要理解纵坐标表达的含义，找到Qi的直观表示，在解决第二问时要发现斜率与pi的关系，既要完成信息的有效处理，还要利用图表直观地找到解决问题的方法．

2 奠基科学技术，用理性能力厚植科研地基

数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥着越来越大的作用．李大潜教授指出：“数学是一个有力的工具．数学在人们的日常生活及生产中随时随地发挥着重要的作用．”高考数学北京卷在试题的设计中，注重背景素材和数学学科恰当的结合，比如2019年高考数学北京卷选择了“星等”为命题的切入点，不仅找到了星等与数学的联系，更是找到了天文学中数学的核心价值．

例3 2019年高考数学北京卷文科第7题，理科第6题

(A)1010.1(B)10.1

(C)lg10.1 (D)10-10.1

本题以天文学中如何刻画天体的明暗程度为背景来设计，简单明了的普森公式精确地刻画了星等与亮度的关系，关系式融合了数学知识、地理知识和物理知识，充分体现了数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具．

3 助力社会发展，用理性精神规划未来蓝图

数学文化试题的设计要找到背景素材和数学学科恰当的结合点，把人类优秀文化的符号提炼出来并深入研究，使学生通过推理和运算，对文化本身有更深入甚至是全新的理解，同时感受数学对推动人类发展所起的巨大作用，这是高考数学北京卷一直秉承的命题立意和导向．设计试题时，在深入了解试题背景材料所蕴含的传统文化的前提下，力求在试题呈现和能力考查上突出体现数学文化的核心．考查的重点是数学的必备知识、关键能力和学科素养，引导学生从数学的角度认识文化，思考文化中蕴含的数学问题，感悟文化中的理性精神，以及与数学相关的人文活动．

例4 2018年高考数学北京卷理科第4题，文科第5题

十二平均律是目前世界上最通用的音律体系，其历史非常悠久，最早可以追溯到公元400年左右的中国人承天．公元16世纪的明朝人朱载堉将十二平均律发展为完整的理论．律学专家黄翔鹏先生对十二平均律有高度评价，因为它不只是音乐声学的成果，还涵盖了物理学、数学、计量学、天文学等多学科的内容，是中国乐律学博大精深的成果．朱载堉应用自制的双排大算盘共八十一档，开平方、开立方求出十二平均律的参数，详尽程度超过我国古代的数学专著．朱载堉的成就不逊于中国历史上任何科学家，欧洲人盛赞并实践着朱载堉的发明．在高考试题中引入这个中国传统文化因素，意在引发学生的思考，增加爱国主义情感，同时也使学生体会到数学在各种领域的广泛应用．如前文所述，数学文化试题要深入“文化”本身，考点的设置要触及文化核心的内容；希望学生通过数学的运算或者推理，对文化本身有更深入甚至是全新的理解．台湾学者陈万鼐高度评价朱载堉，认为他的精确和耐心胜于自古以来的数学家．这也是理性精神的一个呈现方面．

数学的学习不仅是掌握知识的过程，更重要的是学生思维习惯的培养和探索意识的形成．探索精神也是理性精神的要素之一．在试题中可以通过设置开放性试题、探究性试题等来进行相应的考查．

例5 2019年高考数学北京卷理科第12题，文科第13题

已知l,m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m； ②m//α； ③l⊥α．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．

这是一道开放性问题，考查的是线、面平行或垂直的性质与判定. 要求学生能够根据经验将题目给出的三个论断有机组合，并判断形成命题的真、假．学生需要读懂数学的语言和符号，从不同的角度认识问题．开放性试题的设计为学生创设了一个探索的条件，同时让数学的张力得以体现．学生在解决这类非常规和结构不良问题时，需要打破常规进行发散性思考．让学生从标准答案中解放出来，发展他们的创造性思维能力．

结束语

高考作为教育的一个必要环节， 要通过试题的考查达到育人、化人的教育功能．数学文化试题的设计充分挖掘数学文化的精髓，让学生在解决问题的过程中，潜移默化地接受试题背后的文化渗透，引导学生体会数学的理性精神、数学的思想方法以及数学在日常生活的广泛应用等．

在人类生活、科学技术、社会发展中，可以挖掘的数学文化的要素还有很多，北京卷将继续努力探索，呈现更多优秀的题目引领学生体会数学的魅力．