韩国2015年修订数学课程“经济数学”科目的译介

安彦斌

(首都师范大学数学科学学院 100048)

引言

2015年9月23日，韩国教育部确定并发布了《2015修订教育课程》(以下简称“韩国2015课程”)，以“教育部告示”的形式颁布了此次修订教育课程的官方文本.[1]

此次教育课程修订的显著特点为：通过对“核心力量”的强调和在各学科中的具体化，消除文理分科对学生作为“全人”发展造成的屏障，同时在课程体系上设置“共通课程”、“共通科目”、“一般选择”和“进路选择”，以确保学生既可在各学科取得基本的、必需的知识和技能，也可根据个性化的特点和需要，选择符合个人意愿和发展的科目进行学习.

在韩国2015课程中，数学学科的普通科目共包含9个科目.分别是：作为“共通课程”和“共通科目”贯穿小学、初中以及高中一年级的“数学”，作为“一般选择”的“数学Ⅰ”、“数学Ⅱ”、“微积分”和“概率统计”，以及作为“进路选择”的“几何”、“实用数学”、“经济数学”、“数学课题探究”等.[2]

“经济数学”是此次教育课程修订中新设的一个数学科目，旨在为拟向经济、商业等方向进学的学生提供一定的基础.课程选材涉及生活中常见的经济学现象或概念，以及与之相关的数列、函数、微分等数学内容，较为充分地展现了数学在经济学中的广泛应用，同时也回避了经济学的“专业性”对教学造成过大的挑战.

1 对韩国2015年修订数学课程“经济数学”科目的译介

1.1 文本体系

韩国2015课程数学学科的文本由“性质”、“目标”、“内容体系与成就标准”、“教学及评价的方向”等四部分构成.

“性质”涵盖了对学科和科目在教育方面的功能性和必要性的认识、对科目领域和学科力量的阐述、与学科内其他科目或与其他学科的连接性等内容.“目标”从知识、技能、态度三个方面明确了具体科目的期待效果.“内容体系与成就标准”作为内容主体，规定了教学活动的任务和注意事项.“教学及评价的方向”通过指导教学与评价，为修订初衷和课程内容的落实提供必要参考.

下文将从“性质”、“目标”、“内容体系与成就标准”、“教学及评价的方向”等四个方面介绍韩国2015课程数学学科“经济数学”科目的文本内容.

1.2性质

“经济数学”科目的“性质”文本由五个自然段构成.第一自然段从个人与社会的层面对数学学科在教育方面的功能性和必要性进行阐述，其内容为数学学科各科目所共有(由于该自然段并非“经济数学”科目特有，所以本文不做译介).第二自然段首先明确了“经济数学”以“数学I”(“数学I”的主要内容为指数函数、对数函数、三角函数、数列等)为先修条件，然后概括了“经济数学”科目涉及的诸多领域及其主要内容，译文如下：

作为“进路选择”科目的“经济数学”，是在学习作为“一般选择”科目的“数学I”之后，有意向应用数学的知识和技能，理解经济和金融的基本概念的学生可以选择的科目.“经济数学”的内容，由“数与生活经济”、“数列与金融”、“函数与经济”、“微分与经济”4个核心概念领域构成.“数与生活经济”领域以比率与比例概念为基础，处理物价指数、失业率、税率、税金等与生活密切连接的经济内容；“数列与金融”领域以指数与数列为基础，处理单利与复利、本息合计、现在价值、连续复利、年金的现在价值等金融内容；“函数与经济”领域以函数与图象为基础，处理生产、成本、需求与供给曲线、效用函数、均衡价格、决策等经济内容；“微分与经济”以函数的微分概念为基础，处理生产函数、边际产量、弹性等经济内容.

“性质”的第三自然段涉及了“经济数学”科目与作为此次教育课程修订主要特征之一的“数学学科力量”之间的关系，译文如下：

在“经济数学”中学习的数学及经济的内容，是学习包括经济、经营、金融在内的社会科学领域的基础，为能够进一步成长为具备创意力量的融合人才提供基石.为此，学生必须理解“经济数学”的知识、习得“经济数学”的技能，此外还必须养成问题解决，推理，创意，融合，沟通，信息处理，态度与实践等6种数学学科力量.

其后，第四自然段具体解释了上述6种数学学科力量，第五自然段通过“理解数学的必要性和有用性”、“感受数学学习的乐趣”、“养成对数学的兴趣和自信”的表述对学生在动机、情感、态度等方面提出了要求和期待.这两自然段的内容，亦为数学学科各科目所共有(因非“经济数学”科目特有，故在此不做译介).

1.3 目标

与其他科目一样，“经济数学”的“目标”首先明确了此科目在能力和态度上对学生的要求，然后从知识与技能、认知与能力、情感与态度三个角度进行细化.“经济数学”的“目标”如下所示.

理解在生活周边所熟悉的经济现象，应用数学的知识和技能合理地解决和现实生活相关的多种经济问题，理解数学的价值、养成合理地决策的能力.

1.通过数学地观察、分析、组织、表示在生活周边所熟悉的经济现象的经验，理解和数与生活经济、数列与金融、函数与经济、微分与经济相关的概念、原理、法则，及其之间的关系，并习得数学的技能.

2.数学地推理和沟通，以创意、融合的思考和信息处理能力为基础，数学地理解社会和自然现象，合理地、创意地解决问题.

3.具有对经济现象的兴趣和对数学的自信，培养在解决经济问题方面积极地应用数学的态度和合理地决策的能力.

1.4 内容体系与成就标准

“内容体系”与“成就标准”可以看作“经济数学”科目教学内容的具体呈现.

1.4.1内容体系

在课程标准的文本中，“内容体系”以表格的形式呈现，包含“领域”、“核心概念”、“一般化知识”、“内容要素”等4个项目.“经济数学”涉及“代数”和“分析”两个“领域”，前者包含 “数与生活经济”和“数与金融”共两个“核心概念”，后者包含“函数与经济”和“微分与经济”共两个“核心概念”.每个“核心概念”对应一则“一般化知识”和若干个“内容要素”.“一般化知识”以命题形式呈现，是对“核心概念”的说明或解释，“内容要素”可以理解为“核心概念”之下的具体概念或学习内容.

“经济数学”科目的“内容体系”译文如下表所示:

表格1 “经济数学”科目的“内容体系”

1.4.2成就标准

“成就标准”按照“核心概念”进行编排，包括导语、具体标准、“学习要素”和“教学的方法及注意事项”等四部分内容.

导语介绍了出现在“成就标准”中的学习内容的背景，提示了相关内容的有用性和必要性，同时也明确了对学生在“问题解决”和“沟通”方面的能力要求.具体标准方面，韩国2015课程在文本中启用“代码化”标号，以凸显某一具体标准在整个教育课程中的定位.标号代码的格式为“年级群(一位或两位数字)+科目名称缩写+领域编号(两位数字)+成就标准编号(两位数字)”.具体标准之后的“学习要素”列出了该“领域”的主要概念或符号.“教学的方法及注意事项”通过对一些具体事项作出说明或限定，为教学提供必要参考，同时也避免教学实践中因对内容展开程度把握不当而对学生增加不必要的学习负担.

“经济数学”科目的“成就标准”中的具体标准和“学习要素”译文如下：

(1)数与生活经济

①经济指标

[12经数01-01]应用统计数据，理解诸如失业率、物价指数等经济指标的意义.

[12经数01-02]能够用百分比和百分点说明经济指标的增减.

②汇率

[12经数01-03]指导汇率的意思，能够应用比例式由兑换交易计算汇率.

[12经数01-04]能够计算汇率变动导致的损益.

③税金

[12经数01-05]能够根据税金的种类计算税金.

学习要素

百分点、经济指标、汇率、税金

(2)数列与金融

①利息与本息合计

[12经数02-01]能够利用单利与复利求利息与本息合计.

[12经数02-02]知道利率与折扣率.

[12经数02-03]能够计算未来收到的金额的现在价值.

②连续复利

[12经数02-04]理解连续复利的意义.

[12经数02-05]能够利用连续复利求利息与本息合计，计算未来收到的金额的现在价值.

③年金

[12经数02-06]知道年金的意思.

[12经数02-07]能够计算年金的现在价值.

学习要素

e、单利、复利、利率、折扣率、本息合计、现在价值、连续复利、年金

(3)函数与经济

①函数与经济现象

[12经数03-01]能够用函数表示诸如生产、成本等的经济现象.

[12经数03-02]通过函数与图象，理解需求曲线与供给曲线的意义.

[12经数03-03]理解效用的意义，能够通过函数与图象表示效用.

②函数的应用

[12经数03-04]理解依据需求与供给的相互作用决定均衡价格的经济现象.

[12经数03-05]能够分析税金与所得的变化对均衡价格的影响.

[12经数03-06]能够解决利用效用函数的决策问题.

[12经数03-07]理解不等式领域的意义，能够应用其解决经济相关函数的最大、最小问题.

学习要素

成本函数、生产函数、需求函数、供给函数、均衡价格、效用函数

(4) 微分与经济

①微分

[12经数04-01]理解微分的意义.

[12经数04-02]能够利用微分画图象的草图.

②微分与经济问题

[12经数04-03]理解边际产量的意义，能够利用微分求最佳产量.

[12经数04-04]理解弹性的意义.

学习要素

平均变化率、极限(值)、导数、导函数、微分、增大、减小、极大、极小、极大值、极小值、边际产量、最佳产量、弹性

1.5教学及评价的方向

“经济数学”科目的“教学及评价的方向”从数学学科的角度，对作为课程标准实施层面的教学和评价给出了指导和参考，力求落实作为本次教育课程修订方向的“培养数学学科力量”和近期若干次教育课程修订都致力的“数学学习量适定化”.“教学及评价的方向”包含“教学的方向”和“评价的方向”，进而分为“教学的原则”、“教学的方法”、“评价的原则”、“评价的方法”共四部分内容.其中，“教学的原则”和“评价的原则”均强调学生的水平和发展、教学与评价的一致性、数学学科力量等事项.“教学的方法”列举了说明式授课、探究学习、项目学习、讨论学习、互助学习、应用媒体与工具学习等教学方式，同时也按照“问题解决”、“推理”、“创意、融合”、“沟通”、“信息处理”、“态度与实践”的顺序，明确了落实培养上述6种能力时的强调事项.“评价的方法”从评价对象(结果评价、过程评价)、评价目的(诊断评价、形成评价、总体评价)、评价手段(纸笔评价、项目评价、档案袋评价、观察评价、面谈评价、口述评价、自我评价、同伴评价等)等方面提出了具体的意见.

2 对韩国2015年修订数学课程“经济数学”科目的简评

2.1 科目的定位

“经济数学”在本次教育课程修订中，是为有意在经济、商业等领域进学发展的学生新设的一个科目，旨在帮助学生应用数学概念，理解生活周边常见的经济现象.作为数学学科之下的一个科目，“经济数学”试图展示数学作为一种工具，在经济领域中的重要作用.“数与生活经济”、“数列与金融”、“函数与经济”、“微分与经济”等四个核心概念，在命名上凸显了数学与经济的联系，数、数列、函数、微分等，则体现了数学的概念或分支在经济领域中较为广泛的应用.

2.2 内容的选取与处理(1) 关于“经济数学”内容的选取与处理，[3]中有较为详细的论述，本文据其要点进行介绍.

“经济数学”科目的定位，使得经济学内容的选取和数学内容的处理之间存在一定的制约关系，即：选取的经济学内容需要有数学内容作为支持，数学内容的处理方式和程度，以服务于经济学内容的教学和理解为原则和尺度.

例如，本次修订的数学课程未将矩阵纳入为普通科目内容，因此，“经济数学”科目未包含线性规划、投入产出模型等涉及矩阵的内容.

又如，在数列的极限与微积分方面，“经济数学”科目采取了“实用”的处理原则和尺度.通过在直观与严谨之间的权衡，使得数学内容的学习可以满足学习经济学内容的需要，同时又避免给学生增加不必要的学习负担.

在“数列与金融”部分，连续复利概念涉及数列的极限，对此，“教学方法及注意事项”指出“利用计算工具，使学生理解n增大时(1+1/n)n收敛到e”，不仅回避繁难的计算，而且通过直观的方式帮助学生了解该数列的行为特征及其收敛性质，进而将教学落实于对连续复利概念的理解.

在“微分与经济”部分，为使教学内容在合适的范围内展开，“教学方法及注意事项”作出了诸如“直观地处理函数的极限概念与极限值，借助斜率引入导数概念、通过实例类推地得出幂函数导函数公式、不加证明地处理一次函数的乘方的导函数、只处理函数的实数倍、和、差的微分而不涉及函数积、商的微分、应用微分时函数限制于三次以下的多项式函数或无理函数”等的规定.

2.3跨学科内容的挑战

“经济数学”科目的内容属于数学与经济学的交叉范围，对数学教育和教学提出了新的课题和挑战.在课程层面，教育课程内容体系的研发，乃至教科书、教辅书的编写，需要数学教育工作者与经济学领域学者的合力参与，充分地就内容甄选、比例配置、难度控制，以及教学与评价的可行性等事宜进行讨论和议定，同时也对数学教育学者就“经济数学”在课程、教学、评价等层面进行相关研究支持提出了需求和课题.在教学层面，交叉领域对数学教师在知识储备上提出了新的要求.教师应不仅胜任教育课程规定内容的教学，也应对经济学领域具有充足的知识储备，能够从更高、更深的角度理解教学内容，同时也能回答学生有关深造学习和职业发展方面的问题，从而使得“经济数学”符合作为“进路选择”新设科目的初衷和作用.因此，可以说“经济数学”科目也对师范教育、教研培训等的教师教育和培训提出了新的课题和任务.

3 与我国2017年版《普通高中数学课程标准》中有关内容的比较

2017年底，我国印发了《普通高中数学课程标准》(2017年版)，高中数学课程包含必修课程、选择性必修课程和选修课程.其中，定位于“为学生确定发展方向提供引导，为学生展示数学才能提供平台，为学生发展数学兴趣提供选择，为大学自主招生提供参考”[4]的选修课程包含了有关经济数学的内容.“经济数学模型”作为选修课程之C类课程中数学模型专题下的一个内容，包含存款贷款模型、投入产出模型、经济增长模型、凯恩斯模型、生产函数模型等，涉及指数函数、线性方程组、线性回归、对数等数学知识或方法.

对比韩国2015课程中的“经济数学”科目(以下简称“经济数学”)与我国2017年版课程标准中的“经济数学模型”内容(以下简称“经济数学模型”)，不难发现二者的内容在定位、体系和容量上的差异.

在定位上，“经济数学”较为明确地针对有志向在经济、商业等方向发展的学生，为其提供后续学习所需的必要知识和技能基础；“经济数学模型”所在的选修课程之C类课程面向“有志于学习人文类(如语言、历史等)”的学生，将若干经济数学模型(以及同一专题下作为并列内容的社会数学模型)视为数学模型的实例，从数学模型的角度(例如，模型形成的背景、数学表达的道理、模型参数的意义、模型使用的范围等)开展教学活动.

在体系和容量上，“经济数学”作为一个科目，体系上按照“数与生活经济、数列与金融、函数与经济、微分与经济”的形式，具有一定的序列性和层次性，课程容量相应地较为丰富；“经济数学模型”虽然涉及指数函数、线性方程组、线性回归、对数等数学知识或方法，但是在呈现方式上采用了列举的形式，不同的模型之间相对独立，教学活动在选取和排序上有一定的自由空间，适合以专题的形式安排教学活动.“经济数学”与“经济数学模型”在体系和容量上的显著差异，是由它们在定位上的差异决定的.

“经济数学”可以说是冲破了传统意义上数学课程的固有阵地，将课程内容扩充至数学交叉学科，在课程中既做到了数学与所交叉学科的融合，又兼顾了二者在内容体系上的结构性.“经济数学模型”以数学模型为立足点，将视野延伸到经济学领域，相比于我国以往的数学教学大纲或课程标准，也可以看作在扩充数学课程内容范围的方向上迈出了一步.

需要指出的是，“经济数学模型”在选材上注意到了诺贝尔经济学奖，由于在投入产出模型和凯恩斯模型(或其衍生)上的工作，里昂惕夫和萨缪尔森分别获得1973和1970年度的诺贝尔经济学奖.这两个例子很有代表性地展示了数学模型在刻画和思考经济学问题时的巨大作用.

“经济数学模型”中罗列的各种模型，虽然在体系上不必具有很强的结构性，但是在教学活动的内容处理上还是需要考虑学生所学内容的连贯与衔接的.例如，投入产出模型在刻画和求解问题时，可能需要以矩阵的形式呈现线性方程组，而新的课程标准中有关矩阵的内容出现在选修课程的A类课程中，未必为选修C类课程的学生所先修.因此，“经济数学模型”的教学活动中，需要对矩阵的引入和使用作出合适地处理，在不明显增加学生学习负担的前提下，帮助学生了解模型的矩阵表达，并且体会这种表达在形式上的简明.