小学数学有效说题框架与案例剖析

赵洪贵，吴立宝

解决问题是学生数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法和技能技巧的获得以及学生数学学科核心素养的培养和发展的必备途径。作为一名数学教师，会做题、能讲题是其应该具备的最基本的专业素养之一。会做题、能讲题是教师数学专业知识的外显化表现，反映一名教师逻辑思维能力、语言表达能力的强弱，它是成为优秀数学教师的必要条件。数学说题活动，融合做题和讲题，是提高教师综合素养的有效途径之一，能充分发挥数学题的功能［1］［2］，有利于促进数学教师的专业知识、专业能力发展。所谓说题，就是教师依据例题或者数学问题，向听者表述自己对这个问题的理解与思考。主要从学科知识分析、学生学情分析、教学目标分析、解题思路分析四个维度阐述。

以“将一个圆分成若干等份，拼成一个近似的长方形。已知长方形的长是6.28分米，圆的面积是多少平方分米？”问题为例来加以说明。

一、说题基础——学科知识分析

学科知识包括学科的基本概念和基本原理，学科的探究方式、学科的发展趋势，与该学科相关的学科知识等。［3］（P101）数学问题贯穿数学教学过程，蕴含着数学的基本概念和基本原理。因此，教师首先要读懂题中蕴含的数学知识，这样才能正确地把握教学的核心，进而明确围绕什么来教。教师要从四个方面深入解读数学问题：第一，明确数学题的考查内容；第二，找准本题的教学关键点和重难点；第三，挖掘题中蕴含的数学思想方法；第四，疏通与本题有关的数学知识结构。

（一）明确数学题的考查内容

数学问题是指在数学领域出现的运用相关数学知识去解决的问题。［4］（P13）因此解决数学问题的前提是要有数学的基础知识作为保障。当一个教师面对一个数学问题时，首要是能独立地、正确地将其解答出来。这样做一能对题目有大致认识和整体了解。二能确定学生在解题过程中可能遇到的困难。三能预判题目所应采用的解题方法与技巧。其次，教师根据对题目的理解，细致梳理本题涉及的主要知识内容，以便调动学生已有知识，帮助学生找到解题的方式方法。

在对上述题目进行分析时，教师首先要明确本题属于“图形与几何”知识领域内容，涉及的数学知识是近似长方形和圆的关系、圆周长意义、圆面积意义、圆的周长公式和面积公式等。

（二）找准数学问题的教学关键点和重难点

何为解题教学的关键点？即指教学此问题时起决定作用的知识和内容，一般是新旧知识的联系点。教师只有抓准了关键点，将新知转化为旧知，借助已有的认知经验，才能顺利解决新问题；与其相关的知识、方法、技能，在此过程中也就能顺利地理解和掌握。“重点”是指教学内容中最基本、最重要的知识和技能，而“难点”是指学生在学习时难以理解或掌握的知识；学生易错或者易混淆的内容。教师对重点的正确理解和把握，反映出一个教师对教材的精准研读和良好的专业素养，而对难点的准确定位和突破，则反映出一个教师对学生真实学情的了解和教师极强的综合能力。

上题的关键点是找到转化后长方形的长等于圆周长的一半。根据这个关键点学生可以计算出圆的半径，继而求出圆的面积。教师据此将教学重点定位为再次经历圆与长方形的转化过程，理清圆与长方形转化前后的内在联系，尤其是长方形的长和宽分别与圆的周长和半径之间的等量关系。本题学生的学习障碍是曲线图形转化为直线图形后，图形之间的相等关系。因此如何发展学生的空间想象观念，帮助学生感悟化曲为直的思想，就是本题的教学难点。

（三）挖掘数学问题中蕴含的数学思想方法

数学思想方法是指人们对数学理论与内容的本质认识，直接支配着数学的实践活动，对数学活动起着引领和导向的作用，它不等同于显性的数学知识。［5］（P3）数学思想方法是思考数学问题和从数学角度思考问题的思想和方法，是长期的数学发展所积累的文化灵魂。［6］它是一种隐藏在学生学习过程之中，并悄悄地助推着学生深入学习的数学素养。在教学中，挖掘数学问题背后的数学思想方法应从解决数学问题的过程入手。让学生经历知识形成过程，在理解重点和难点、掌握解题策略方法过程中挖掘领悟数学问题背后的数学思想方法，这既是学生解决数学问题的需要，也是落实数学学科核心素养的需要。

以上述题目为例，教师在分析时要发现并挖掘其背后的数学思想方法：首先，教师要帮助学生重温圆面积公式的推导过程（如图1），即知道将圆平均分成若干等份的小扇形，再将其插拼成一个近似的长方形，渗透化曲为直（圆面转化成长方形）的转化思想方法和极限的思想方法（圆能等分成若干个小扇形），借助信息技术促进学生对上述过程的理解［7］；其次，对比图形转化前和转化后的联系，知道长方形的长与圆周长的一半是相等的关系，通过推理的方法找到半径；最后，运用圆面积公式这一数学模型求出面积。

图1 圆面积公式的推导过程图

（四）疏通与本题有关的数学知识结构

数学知识结构是由数学概念、公理、定理、法则和方法形成的知识体系，它是客观存在的。［8］（P58）已学的知识点在学生记忆中就像一堆散落的树叶。教师需要有意识地指导疏通，帮助学生建立各个零散知识点的内在联系，形成有序的知识架构体系。这是解决问题的前提。

上题所涉及的数学知识是：长方形和圆等平面图形的特征、图形之间的转化方法、圆的周长和面积公式的推导过程、计算圆周长和面积的方法。这些都是与之关联但又零散的知识，教师要对其进行梳理沟通，形成一个整体的平面图形结构体系图（见图2）。教学时，先帮助学生回忆长方形、正方形面积公式的推导过程。之后，回顾借助转化的思想将多边形面积转化成长方形或平行四边形面积，将新知转化为旧知，运用推理思想建立面积公式模型。最后，根据学生已有的认知基础和学习经验来探索圆的面积，渗透化曲为直的转化思想、极限思想、推理思想。从而使教学由点及面、由面穿线，达到融会贯通的效果。

图2 平面图形结构体系图

二、说题前提——学生学情分析

在数学问题分析时，做好学情分析至关重要。学情分析就是学习者特征分析，是学生在学习方面有何特点，学习方法怎样，习惯怎样，兴趣如何，以及学习本题的有利因素和存在问题等。［9］（P34）主要包括：学习起点分析、潜在状态分析、学生典型错误分析三部分。

（一）学生学习起点分析

学生学习起点即学生在学习此问题之前，已经具备的知识基础、认知经验、生活经验等。奥苏伯尔曾指出：“如果我们不得不将教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况进行教学。”［10］（P121）

再以上一个数学问题为例，此题学生的已有知识基础是已经学习有关长方形和圆的特征，掌握了长方形周长和面积公式、圆的周长和面积的计算公式。而这些知识点的学习距离该题的时间相隔较长，所以教学前教师需要通过复习相关知识，来了解学生是否还记得这些平面图形特征和图形的周长以及面积公式，是否能熟练运用这些公式解决问题，以此来确定教学的起点和学生学习的起点。

（二）学生学习潜在状态分析

潜在状态就是根据学生的认知发展水平情况的不同，在学习过程中可能存在的学习现状。也就是要根据学生的年龄特征、心理特点、认知水平等做好生成的思想准备。本题学生潜在状态可能有以下几个层级：第一层级的学生读不懂题目，无任何思路；第二层级的学生知道圆与长方形之间的转化关系，但不能找到之间的等量关系；第三层级的学生能找到联系，但无法运用推理的方式寻找圆的半径。教师根据这些层级做好预案，并在教学实际中调整自己的教学问题和教学活动，能够最大程度地提高教学的实效性。

（三）学生典型错误分析

学生典型错误的呈现，直接反应学生对此数学问题的思考与理解。透过这些典型错误，能发现学生在解决此问题时所暴露的认知障碍。通过分析典型错误可以有效地找准教学起点，确定合理的教学策略和方法。如，错误1：“6.28×2”。学生错误的原因是误把圆的周长当成了圆的面积，学生对于圆的周长和圆面积的意义理解不是很清楚。再如，错误2：“6.28×6.28”。此错误说明学生将长方形的长和宽都看成6.28，求出长方形的面积也就是圆的面积。这样的学生是知道转化后长方形的面积和圆的面积是相等的，但他们不清楚转后长方形的宽是谁，学生没有找到图形转化后相关条件之间的内在联系。

三、说题核心——教学目标分析

所谓教学目标是教学将使学生发生何种变化的明确表述，是指在教学活动中所期待得到的学生的学习结果。［11］它既是教学的起点，也是教学的归宿。要使教学目标具有可测性和可实施性，必须体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观这三维课程目标理念，并通过数学教学活动有效达成。［12］［13］这三个方面，不是三个独立的个体，它们是统一的不可分割的一个整体。

（一）知识与技能目标分析

知识与技能目标，就是通过教师的教和学生的学，让学生了解、理解或掌握相关知识，并形成各种学习能力。在分析时，要从课程标准的目标要求和题目的结构特点两方面来思考。将题目中包含的不同知识点，进行有序分类。分清哪些知识只是了解，哪些需要理解，哪些又是必须掌握，同时还要明确在学习这些知识的过程中需要培养学生哪些技能与能力。如，上题的知识与技能目标为：理解圆与近似长方形相互转化的关系，知道转化前与转化后的相等关系；灵活运用圆周长的公式，并能借助圆周长的一半求圆的半径，进一步巩固圆面积的公式；培养学生分析和推理的能力以及应用意识。这样分析教学目标不仅使其更加细化，而且具有可测性，能真正让目标在课堂教学中落地生根。

（二）过程与方法目标分析

过程与方法目标变“重视学习的结果”为“强调学习的历程”，注重学习历程的体验和学习方法的内化与掌握。过程与方法目标贯穿于知识与技能、情感态度与价值观的形成过程。对于学生而言，缺少过程与方法，就只能被动地接受前人已经发现的知识。教师机械地教，学生被动地学，学生之间便没有了交往、活动、探究与合作，自然就遏制了学生的创造性，更谈不上情感、态度、价值观的培养，从而导致学生片面、畸形的发展。

过程与方法目标的分析，要从教师的“教”和学生的“学”两个层面进行设计。教师的“教”要体现教学方法和策略。学生的“学”要体现学习的心路历程，要有经历、有体验、有思考、有分享地学。如，上一题的过程与方法目标为：通过操作、观察、比较等形式再现圆与近似长方形转化的过程，渗透极限、转化、以直代曲的数学思想方法；借助圆与长方形特征，圆周长与面积公式等知识，经历自主探究、合作交流的过程，积累活动经验，感悟学习方法。这样确定目标使教师的教具有指导性，学生的学具有操作性。充分体现学生是课堂的主体，教师是课堂的主导。

（三）情感态度与价值观目标分析

数学情感态度与价值观是指个体对数学学科、数学活动、数学对象的喜好、立场观念等。情感态度不仅指学习兴趣、学习信心，更重要的是乐观的学习和生活态度、认真务实的科学精神、宽容待人的优秀品质。价值观不仅强调个人的价值、科学的价值、人类价值，更强调个人价值和社会价值的统一，科学价值和人文价值的统一，人类价值和自然价值的统一。让学生内心确立起对真善美的价值追求以及人与自然和谐、共同发展的理念。

上题的情感态度与价值观目标分析，可以从学科自身特点、现代社会的发展需要、促进学生终身学习等三个维度进行阐述。如，培养学生认真观察、深入思考的良好思维品质；激励学生面对困难勇敢克服、锲而不舍的精神；感受成功的喜悦、体验学习的快乐。在本题中，当学生遇到困难时教师要善于鼓励、点拨、引导学生深入思考，让学生分享解答成功的喜悦，感受学习数学的信心，为今后的学习与生活起着助推的作用。

四、说题关键——解题思路分析

解题思路是一个由已知到结论的推理过程，是由线索到真相的分析。说解题思路能综合考察教师的学科专业技能，教师要从学生的学习前提、认知水平、接受能力等多角度思考不同的解题方法和策略。因为每一个学生都是独立的个体，他们的认知层次、学习水平、理解能力都不尽相同，因此要展现多种解题思路，让学生选择适合自己的解题方法，凸显面向全体，尊重差异的理念。

再以上题为例，本题的解题思路可以从三个维度去思考。

方法1：从问题入手，要想求圆的面积先要找到圆的半径。借助圆转化成近似长方形后，长方形的长等于圆周长的一半这一关系，即长方形的长=圆周率×半径，从而求得，半径=长方形的长÷圆周率，再根据公式，求出圆的面积。

方法2：仍然从问题入手，要想求圆的面积先要找到圆的半径。根据圆与长方形转化前后的关系，发现圆的周长等于长方形的两个长，继而根据圆周长的逆运算，求出半径，即半径=长方形的两个长÷圆周率÷2，再根据公式，求出圆的面积。

方法3：结合已知条件和问题的联系寻求解题方法。因为转化前圆的面积和转化后长方形的面积是相等的，所以只要求出长方形的面积就是圆的面积。因此寻找长方形的宽就是解题的突破口。根据圆与长方形转化前后的联系，长方形的宽就是圆的半径，求圆的半径可以借助方法1或方法2来求得，再根据长方形的面积=长×宽，求得长方形的面积，也就是圆的面积。

以上几种解题思路分析可以适应不同层次水平的学生，既拓宽学生的解题思路，又提高学生多角度思考问题的能力，让学生举一反三。

综上，以一个案例，从学科知识分析、学生学情分析、教学目标分析、解题思路分析四个视角阐述数学说题，为教师提供一个有效进行数学题分析的范例。这四个视角彼此联系，相互依存。教师说题的精华在于要站在促进学生终身发展的角度去思考如何设计数学问题、设计数学活动，借助数学题让学生爱学习、会学习、善学习，掌握数学知识，训练基本技能，积累解题经验，发展数学能力，落实数学学科核心素养。