基于“深度学习”的高中数学教学思考

易文辉

[摘  要] 在发展学生数学学科核心素养为导向的课堂教学中，深度学习无论从学习特征和发生条件，都与数学核心素养的培养匹配度非常高，因此教师从整体把握教学内容的基础上进行精心教学设计、合理组织课堂教学，使得学生在问题驱动下，激活学习思维，深入探索数学本质，体验知识的形成过程，进而促进有意义的学习和构建知识系统.

[关键词] 深度学习;数学教学;核心素养

随着课程改革的不断深入，机械学习和死记硬背的教学方式早已被人们摒弃，达成有意义的学习已是大家的共识，特别是近年来，针对提高学生主动性、积极性、参与性的努力，有一部分教育实践者试图改变学习方式、改变教学组织形式，尝试先学后教、翻转课堂等，然而这些改革只以学生主动性为目的，便易着眼表面，从形式上入手，甚至顾此失彼. 例如，强调学生的兴趣而忽视系统科学知识的学习;强调学生的学习行为而忽视学生是否有相应的学习能力;强调学生的主动参与而忽视教师的引导;强调学生的愉悦而轻视严肃严格的学习，等等. 2014年，教育部基础教育课程教材发展中心在全国多个实验区开展了“深度学习”教学改进项目研究，努力在自觉的教育实验活动中探索教学规律，促进学生核心素养的发展，使教学活动真正成为培养人的理智活动，成为能够回应时代和社会发展的社会实践活动.

深度学习是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程[1]. 在这个过程中，学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、积极的态度、正确的价值观.然而所有的课程改革、教育理论都必须要落实到教学中，落实到学生的发展上[1]. 如何判断课堂教学是否是深度学习，主要看是否具备以下几个特征：一是联想与结构，就是把要学的内容跟以前的内容联系起来，同时以融会贯通的方式对学习内容进行组织，构建出自己的知识结构;二是活动与体验，学生能够全身心投入到探索、发现、经历知识的形成过程，体会科学的思考方法;三是本质与变式，能够抓住教学内容的关键特征，全面把握学科知识的本质联系，并能够在变式中辨析本质特征;四是迁移与应用，也就是要将学习的东西用到新的情境中去，能够举一反三，闻一知十[2].

1. 整体把握教学内容

就高中数学课堂教学，基于深度学习的教学特征，学生学习必须基于已有知识结构，经历知识的形成过程，理解数学本质，掌握数学的思考方法，并重新构建知识系统. 数学是一门系统性、逻辑性都很强的学科，各部分知识之间的内在联系十分密切，教学中要弄清楚知识的来龙去脉，把握数学本质，就要从多视角去认识教学内容，如几何视角、代数视角、运动变换视角、数学内部发展视角、知识联系视角以及现实背景等，同时把握教材编排体系和章节之间的内在联系，认清它们在整个数学教材中的地位和作用.

整体把握教学内容，首先要深刻理解教材，从整体上把握教材的结构;其次是要尊重教材内容，在课程标准的要求和精神下落实教材;最后是要对话教材，用心与教材交流，最好能够比较不同版本的教材，用兼容并包、博采众长的心态和基于所教学生的学情，构建“自己的教材”“符合学生的教材”[3].

深度学习的核心在于：不应停留于单纯知识（包括数学基础知识和数学基本技能）的学习，而应通过具体知识内容的学习促进自身思维的发展，特别是，应当不断提升自身思维的品质，包括由“理性思维”逐步走向“理性精神”，也是数学教育的主要功能[4]. 因此，整体把握教学内容的另一个方面就是，深度学习不仅仅是知识的学习，而更加应该指向学生的深度思考，把握了教材结构和知识的内在逻辑关系之后，要进一步从数学思想方法、数学思维的视角去审视教学内容，知识的学习承载着发展学生思维、培养学生理性精神的任务.

如何整体把握教学内容呢？第一，可以从知识的视角进行梳理，理解教材内容的呈现方式，并揭示教学内容在数与形方面的关联;第二，挖掘蕴含在知识中的数学思想方法，明确数学思想方法在知识发生发展过程中的作用，从研究问题的一般方法角度去理解知识的学习;第三，挖掘数学内容所承载的育人价值和在培养学生数学学科核心素养的价值;第四，从数学文化的视角把握相关内容，将数学文化融入数学学习的内容和过程中去.

2. 精心做好教学设计

任何一节优质的课堂教学，都是从精心教学设计开始的，精心设计教学的前提就是要基于数学、基于教材体系、基于学生，对课堂教学的引入、组织学生有效学习、教学评价等各个环节进行科学预设，确定教学重点、难点，并预设突出重点、突破难点的方案，确定教学方法，对提升学生思维有重要价值的内容上设置有效的问题.

例如，在“同角三角函数的基本关系”教学中，教师在“创设情境，引入新课”环节，设计问题为：

计算下列式子的值：（1）sin2+cos2;（2）sin2+cos2;（3）sin2+cos2;（4）sin2+cos2.

从前3个式子的运算结果，你能猜想一下第4个式子的结果吗？能否用数学式子表示你的猜想？

這样设计的目的性非常强，就是围绕同角三角函数的平方关系设计问题，由特殊到一般形成结论. 在教师的牵引下，也许学生能够发现sin2α+cos2α=1，但是不利于学生的思维发展和构建知识系统，长此以往，学生甚至会觉得“数学不讲道理”，更加谈不上深度学习.

根据“同角三角函数的基本关系”一节在教材中的安排，在引入新课环节时重新设计为：

（1）三角函数的定义是什么？它们的几何表示分别是什么？

（2）利用三角函数的定义求sin210°，并找出相应的正弦线;

（3）已知第一象限角α的终边与单位圆交于点P，y，求实数y的值;

（4）已知α是第一象限角，且cosα=，求sinα，tanα的值;

（5）已知cosα=，求sinα，tanα的值;

（6）已知cosα=m（m≤1），求sinα，tanα的值.

通过复习的方式引入，启发学生联想，构建新旧知识之间的联系，为学生学习做好铺垫，符合学生的认知特点，同时也揭示问题的本质——同角三角函数的基本关系的生长点是三角函数的定义. 教学中不断引导学生从定义的角度分析，从数和形两个角度揭示sinα，cosα，tanα三者之间的关系，更能体现知识的本质，也有利于学生领会研究数学问题的一般方法.

3. 合理进行教学组织

数学教学本质上是数学活动的教学，引导学生将教学过程探索化，使得教学过程变为引导学生进行数学活动的过程.人们常说，“教学是科学也是艺术”，教学的科学属性说明教学设计要符合相应的规律，教学的艺术属性说明教学需要丰富的情感、想象力和高超的技能以及临场发挥的能力，将精心设计的内容在课堂中有效地“生成”.

合理课堂教学组织不是杂乱无序的，是有贯穿始终的教学主线的，教学组织应该是有结构的，问题之间有逻辑关联、层层递进且能启迪学生思维的，能体现章建跃教授提出的“理解数学”“理解学生”“理解教学”. 例如，在“二项式定理”的课堂教学中课堂教学主线为：

问题1：请你描述分类加法计数原理和分类乘法计数原理，写出排列数和组合数公式;

问题2：（a+b）（c+d），（a+b）（c+d）·（m+n）展开各有多少项？

问题3：多项式（a+b）2，（a+b）3展开不合并同类项的前提下有多少项？

问题4：（a+b）2，（a+b）3展开式中各项的一般形式是什么？合并同类项的系数如何计算？（预设：这是本节课的关键所在，教师要不断追问“这里要完成的一件事是什么”“如何完成”）

问题5：你能根据（a+b）2，（a+b）3展开式的特征得到（a+b）4，（a+b）5的展开式吗？

问题6：你能得到（a+b）n的展开式吗？

合理的课堂教学组织一定让人感觉非常自然，是符合学生认知规律和数学研究问题的一般思路的. 在“二项式定理”的课堂教学中，学生熟悉初中学习的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，也习惯从具体到抽象的思维方法，因此从n=1，2，3，4，5的情形对（a+b）n的展开式进行研究，有利于学生学习. 从对（a+b）2，（a+b）3的项和系数观察，总结展开式的结构，从特殊到一般，不断引导学生回到“乘法分配律”“计数原理”中去，把握an-kbk是在（a+b）n的n个因式中，从k个因式中取b，再从剩下的（n-k）个因式中取a，而且只要b取定，a就唯一取定，联想用组合数公式计算合并同类项前an-kbk的个数为C·C=C，从而得到展开式的通项为Tk+1=Can-kbk. 这样设计的课堂教学组织能够基于学生认知基础，根据二项式定理的核心是多项式乘法法则、排列组合的具体应用，从适合学生的具体到抽象，特殊到一般的认知规律，重点突出二项式定理中的项、次数、系数三个要素特点及其规律.

根据北京师范大学教育学院郭华教授在文[1]、文[2]中对深度学习的论述，结合高中数学及其教学的特点，判断课堂教学中深度学习能否发生，可以从以下几个方面来说明.

1. 问题驱动，激活学生思维

数学是思维的体操，是否深度学习，其中重要的指标之一应该就是看学生的思维是否得到发展，正如许卫兵老师所指出的：“思维是数学能力之‘核，思维也是数学素养之‘魂！无论过去、现在，还是将来，数学课堂都应该基于‘思维教，围绕‘思维学，让学生获得良好的思维启迪，能‘自觉地用数学的思维方法去观察、分析社会，解决现实问题，进而提升学习质量、生活质量乃至人生境界”[5].

问题是数学的心脏，激发深度学习的教学应该能以学生为核心，设计适合学生学习问题来展开教学，发展学生思维，具体来说，应该体现在以下两点：一是教学内容的问题化，即以问题为中心组织教学内容;二是教学过程探索化，即教师为学生创设学习情境，提供有价值的问题链启发学生思考，探索发现数学结论，以获得知识形成、解决问题的体验.

以问题驱动开展教学，已经是广大教師共识，关键是如何提出有价值的问题，以确保教学具有启发性、探索性.数学是一个整体，它的整体性体现在同一模块和不同模块之间的相互联系上，如代数、几何、三角、向量等之间的相互联系，也体现在知识的前后逻辑上，因此，从数学的本质、整体上看，有价值的问题应该体现数学发生发展过程以及数学学科的内在逻辑和不同数学内容之间的联系. 如在“直线的倾斜角与斜率”中，如何提出有价值的问题驱动教学？解析几何通过代数的方法研究几何问题，坐标法是其基本思想，坐标系是沟通代数与几何的桥梁，将几何问题代数化是基本思路. 教学中的问题除了要能够体现直线的倾斜角和斜率是从几何、代数两个角度刻画直线的倾斜程度的两个量之外，还要能够培养学生学会用坐标系刻画几何对象的习惯，用坐标的方法解决平面几何问题.基于以上分析，我们可以在教学中设置问题“过平面直角坐标系内一点有无数条直线，它们的区别在哪里？”“怎样描述直线的倾斜程度？”“为使任意一条直线都有唯一的倾斜角，应该怎样规定倾斜角的范围？”“如何用代数的方法表示直线的倾斜程度？”“如何用两点坐标表示直线的斜率？”等展开教学，通过先用平面几何的眼光观察，再用坐标的方法解决，发展学生将平面问题代数化的意识和能力.

2. 深入探索，体验形成过程

重结果、轻过程是我国数学教学的一大弊端，特别是在“导学案”大行其道的背景下，许多教师更是理直气壮地搞“一个定义三项注意”，这种忽视知识产生背景和形成过程教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，学生无法清晰概念之间的关系，就更加无从构建联系，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，概念学习退化为“列举概念要素、关键词和注意事项”的学习，解题就是“题型学习”，无穷无尽的题型和题目，却始终不得解题之“道”，没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激——反应”训练.

促进学生深度学习，就要重视知识的形成过程和数学本质，是数学教学成为“有思想的教学”，成为提高学生思维能力的舞台，坚持过程与结果并重. 例如，在前面“二项式定理”的教学中，让学生从已经学习的计数原理和熟悉的多项式乘法开始，进而探索一类特殊的多项式乘法问题：（a+b）n的展开式，“特殊”在于它的因式都是相同的“二项式”，并从n=1，2，3，4，5开始探索这类乘法问题的规律性. 在具体的、学生容易计算的问题中寻找蕴含在其中的数学思想方法，由浅入深，层层递进开展教学，学生不断深入探索展开式的项、次数、系数三个要素，思考、归纳并总结规律，特别是反复根据乘法法则和计数原理，把二项式的系数的求解划归为组合问题. 这样的教学，过程自然而又体现数学本质，学生真正经历了公式的探究过程，思维得到极大的发展，实现了二项式定理的育人价值.

3. 意义构建，理解数学本质

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，高中数学要能够创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质[6]. 深度学习特别重视对知识本质的理解，注重掌握知识本质的过程，为了帮助学生把握知识的内在联系与本质，教学中可通过标准正例、非标准正例和反例，进行有意义的构建，理解数学本质. 例如，在“任意角”教学中，为了让学生把握“角”的本质，不仅要提供“正角（终边逆时针旋转）”“负角（终边顺时针旋转）”等例子，还要提供“零角”“周角”“平角”“钝角”“锐角”“象限角”“轴线角（终边在坐标轴上）”等例子，体现现在学习的“任意角”包含初中学习的角（数学的统一性），也从非标准正例的角度帮助学习构建“任意角的概念”.

高中数学教学中，任何一个数学内容的教学都不能简单地成为数学知识的传递，而要充实学生知识基础、完善学生逻辑思维、发展学生科学理性的精神，即理解数学本质的同时也要经历掌握知识本质的过程. 例如，在“椭圆的定义及其标准方程”教学中，从生活中如天体运行轨道、球的影子、压扁了的圆等直观感觉“椭圆”（如图1），还要从数学中“圆锥”“圆柱”的截口去认识椭圆，并经过与球有关的相切平面截圆柱的过程，体会椭圆是“平面内到两定点（切点）的距离等于定长的轨迹”（如图2），再从椭圆规画椭圆的角度（定绳长作椭圆，如图3）进一步认识椭圆的定义，只有这样充分经历认识“椭圆”本质的过程，才能促进学生的深度学习.

深度学习的理论不是某一流派的理论演绎，而是历史上优秀教育理论成果及优秀教学实践经验的汇聚和提炼，是对学生学习与发展的一般道路的现实探讨. 在深度学习的视角下，要重新认识“教——学——研——评”的相互关系，厘清教师与学生、教师与课程、学生与内容、知识与能力、能力与素养等之間的关系，使得它们是一个有机的整体，促进学生有意义的学习，使得学习成为他们生命成长的重要组成部分.

参考文献：

[1]  郭华. 深度学习及其意义[J]. 课程·教材·教法，2016，36（11），25-32.

[2]  郭华. 基于深度学习的教学改进[J]. 教育科学论坛，2015（04），13-23.

[3]  渠东剑. 再谈基于整体把握教材结构的教学——以函数y=Asin（ωx+φ）的图像为例[J]. 中学数学教学参考，2016（z1），10-13.

[4]  郑毓信. 以“深度教学”落实数学核心素养[J]. 小学数学教师，2017（09），4-10.

[5]  许卫兵. 以思维为核心的数学素养导向——基于课堂教学的视角[J]. 小学教学（数学版），2017（01），14-17.

[6]  中华人民共和国教育部制订. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.