核心素养视角下的几何问题表征能力提升研究

(同济大学附属实验中学,上海 201805)

几何问题的解决对学生思维发展的重要性不言而喻.《义务教育数学课程标准(2011年版)》在“总目标”中特别指出：要掌握图形与几何的基本知识和技能……初步形成几何直观，发展形象思维和抽象思维…….PISA等大型国际测试题也常常借助含有图、表的现实情境来考查学生从图中搜集、分析、处理信息的能力，同时对图、表的深层次理解也日益成为数学新课改背景下的中考热点之一．

几何素养是指学生在几何方面的数学能力，以及学生在解决具有一定背景的问题过程中，面对不同形式的几何对象，使用适当的知识和技能进行探究时，表现出的几何思维水平和几何应用能力[1]．这里的思维水平主要通过几何技能和能力来表现.而几何素养的评价维度也侧重于对数学知识(主要是关于空间和图形的几何知识)、数学过程(将现实问题数学化并解决)、数学能力(主要是空间想象能力)以及数学思想(现实世界的空间形式和数量关系反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果)这4个方面.

在教学实践中，几何教育的目的既要使学生掌握基本的几何知识和技能，包括几何直观、表达、作图、度量和基本推理，也要让学生能够在提高几何能力的同时，学会通过图表、语言和文字表达自己的思想，在了解几何思想方法的同时培养几何的应用及创新意识，而这正是几何证明的价值所在.

1 几何问题表征教学现状

在初中阶段，学生的推理论证能力主要是在几何学习中发展起来的．几何的长处是内容比较直观，但是演绎推理又不能依赖直观和实验，因此，初中几何中的证明教学有其特殊性，既要借助图形直观，又必须在一定条件下摆脱直观，形成抽象的概念和方法.

在实际的教学过程中，几何问题的表征受到多方面的因素影响：一方面，由于学校教育与数学教育的目标不甚一致，《普通高中数学课程标准(2017年版)》强调综合素养的培养，而在学校教育中，数学教育主要关注的是学生掌握基础知识和基本技能以应对纸笔化测试方式，这一现状同时也导致教师的几何知识结构单一；另一方面，题目因素也影响着几何问题的表征，诸如题目的类型与难度，有研究表明六年级学生解决难题时倾向于使用视觉表征、解决容易题时会使用非视觉表征.题目的视觉化程度，视觉表象与空间表象会在低视觉化程度的题目中完全分离，而在高视觉化题目中又纠缠在一起；对于题目的呈现方式，数学学困生倾向于在解决问题时回避对试题所附图与表的使用[2].对于个体而言，学生在以前解决问题时使用视觉空间表征的经验、所接受的解题指导以及对自身能否解决几何问题的自我效能都是影响几何问题表征的重要因素.

2 提升几何问题表征能力的若干策略

从上述分析可知，影响学生几何表征能力的因素主要在于：问题的呈现方式、问题中知识体系本身、学生已有的认识与表征经验等.要改善学生的几何表征，教师在教学过程中可以从以下4个方面进行努力：

2.1 重视对数学概念以及概念之间关系的表征能力的培养

有研究表明，当学生对概念进行表征时，一般是从具体材料、图画、图形、语言、符号系列逐步上升[3]，达到一定程度后，便可用概念的图形、符号、定义来表征概念.但是在学习的过程中，也会出现一些困难，比如寻找抽象概念的模型的过程便是限制概念表征的一大因素.

几何概念在表征过程中至少有两个方面的作用：一个是作为论证过程中的原始依据，比如公理以及由此推导出来的部分定理；另一个是作为论证过程中的数学工具，比如数学概念网络中掌握的“标准图形”“原型”“特殊示例”等，而这其实是对概念与概念之间关系的理解.教师在教学过程中可以根据上述两个作用设计相关习题培养学生对概念的表征能力.例如，沪教版八年级《数学》第19章“直角三角形”中，对“直角三角形全等的判定(HL)”的证明设计就是将已有概念(等腰三角形相关性质)作为证明依据进行使用.

例1求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

例2已知在△ABC中，AB=15，AC=13，边BC上的高为12，那么BC的长为多少？

对于例1，此命题的证明就是对概念与概念之间关系的研究，可以将“等积法”这一模型作为证明的工具进行使用.如果学生在进行数学表征时能够合理地利用数学概念网络中已有的“标准图形”“原型”“特殊示例”等，就可以快速、正确地进行几何表征.但是在对上述概念进行实际运用时，也要注意已有概念对表征的负面影响，比如在对三角形的高进行表示时，绝大部分学生的数学概念网络中都呈现出“锐角三角形”某一边上的高，但是如果学生能够理解“高”的本质是“一个顶点与其对边所在直线的距离”的时候，就能联想到过这一顶点作对边的高时，垂足可能落在对边线段上、端点处以及线段外.这样就可以较为顺利地解决诸如例2的这类问题，因此，需要学生真正理解概念的本质，将描述概念的语言、符号与概念的本质相联系，才能找到概念产生以及运用的背景.

2.2 重视几何表征体系的建立以及表征工具的获得

一些学生由于在之前的学习经历中没有建立完善的表征系统，因此会在解决几何问题的过程中产生理解力上的局限，而表征工具的缺乏会使得这一状况持续存在.在强调对外部的数学表征知识系统的建构过程的同时，还需要关注个体有效的内部表征体系的建立，而这可以通过关注并解决其在表征过程中的认知障碍获得.

有研究者认为，由于数学规则可以被机械地学习和遵循、定义可以靠记忆，因此，即使外部表征系统具有较高的水平，也不足以说明学生已经理解数学意义，而且也不足以说明他们能够识别结构或者解释运算结果[4].由于内部表征系统包括个体符号化建构、数学符号意义匹配、学生的自然语言、视觉表象和空间表征、问题解决策略以及对数学的情感，因此内部表征的建立至关重要.实际上，如果学生能够建立正确的内在表征体系，获得合适的内在表征工具，自然可以在外在表征系统中获得较高的水平.

图1

1)如图1，若点D在边BC上，求证：DC⊥AC.

2)若点D不在边BC上，第1)小题的结论还成立吗？

3)随着△ABC中∠BAC的变化，∠BDC能成为直角吗？若能，请求出∠BAC的度数；若不能，请说明理由.

例3的图形看上去是比较简单的形式，但是，通过阅读题干中的信息会发现，图1只是一种特殊情况.第2)小题和第3)小题要求学生能够利用正确的表征工具(对几何符号的表征到几何图形的转译)、选择正确的表征体系(角平分线、等腰三角形以及线段的垂直平分线等相关性质)来获取视觉化图形，然后表征出满足问题限定条件的几何图形来解决问题.

在教学过程中，教师可以依据学生的认知发展情况选择合适的表征方式.比如在低年级阶段，可借助视觉化的表征方式帮助学生建立直观和实验几何阶段的形式化表征体系；在高年级阶段，通过逐渐减少视觉化表征过渡到非视觉化的演绎几何阶段.沪教版《数学》第19章“几何证明”即是这一观点的体现，通过对基本逻辑术语、演绎推理的思考方法以及证明的步骤、格式的规范的强调，逐渐过渡到勾股定理及其逆定理、两点间的距离公式等的逻辑推理的表征形式的学习.这一过程既是通过结构性的外部表征的相互作用发展学生的内部表征系统，也通过内部表征系统的发展生成新的表征工具以及外部表征系统.教师在习题设计的过程中，也可以通过直观的视觉表征到抽象的非视觉表征这一过程来发展学生的表征体系、获得表征工具.当然，对学困生而言，通过表征技术进行干预，比如通过画图表将非视觉化表征转化为视觉化表征，也是改善表征体系以及克服认知障碍的有效手段之一.

2.3 重视几何阅读能力以及几何抽象能力的发展

赖尔曾经指出：“知道怎样做”的实践性知识比“知道是什么”的命题性知识更重要，因为前者更能体现一个人的智力．在解决几何问题时，能否正确地在文字语言、符号语言以及图形语言之间灵活转译表征是决定学生能否成功解决几何问题的关键，而这一实践性能力的获得就需要重视对几何阅读以及抽象能力的培养.

有研究表明，教师在进行几何表征时主要会体现出3种良好的实践性知识：一个是与细节、概念有关的细节性知识；另一个是与确定目标、子目标有关的策略性知识；还有一个是与几何元素组成结构有关的结构性知识[5].可见，这3种实践性能力在很大程度上决定着结果的获得，而这种对细节、策略以及结构的表征与转译能力恰是教师应该在教学过程中渗透的.比如，在“求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高”这一命题中，顺利提取“等腰三角形”“底边上点到腰的距离”以及“腰上的高”这些细节性知识，并且借助相关的结构性知识来表征这些细节性知识，匹配合适的策略性知识解决问题就是对这一命题的表征过程，而这一过程恰是对学生几何阅读能力以及抽象表述形象化能力的考查.

图2 图3

(2018年上海市数学中考试题第18题)

例4就是对几何阅读能力的考查，在新定义的情境(图形的宽、高)中，学生能够通过阅读问题中所提供的信息(与矩形类比以及相互之间的关系)，在知识体系中重新表征获得的信息并将其转译为与所提供图形匹配的信息(菱形的宽、高)，从而解决问题.

几何抽象与函数抽象略有不同，几何的抽象更多地意味着学生能否正确地将文字、符号、表达式等非视觉化的几何表现形式表征为视觉化的图形.而抽象能力的发展应该达到何种程度？有研究者给出了可借鉴的观点，塞茨提出：专家的知识是中等抽象的观念表征．这种中等抽象表征的知识具有图式性质，它比细节表征的知识更易于提取，使用起来更快、更容易．因此，中等抽象表征的知识是专家与新手在知识上的主要差别.

在教学过程中，除了要根据学生的认知发展规律有序地培养从直观到抽象的表征能力，还要培养学生借助已有知识在抽象的文字表述与直观图形表述之间的互译能力.比如对前一段所述纯文字命题的数学符号以及图形的表征能力，这一过程既是学生几何思维过程的外显性行为，也是学困生克服几何思维障碍、完善几何知识网络、提高几何思维能力的关键步骤.几何抽象能力的发展与几何阅读表征能力的发展是相辅相成的，在策略性知识中，如果学生具有足够的阅读表征能力，就会将遇到的新的复杂几何问题与其知识网络中已有的同类几何问题进行类比，并结合自己熟悉的基本图形，拆解复杂情境中的几何问题达到先简化表征再重组从而解决问题的目的.因此，教学生如何具体地去解哪一道题并不重要，关键是要选择一个典型的问题，教会学生表征与转译的方法．

2.4 重视学生正确的几何直觉与几何逻辑的培养

几何直觉与几何逻辑这两种思维类型具有很多不同的特点：直觉内隐靠感觉，而逻辑外显从概念等知识出发；直觉更随意、不受概念和逻辑的约束，而逻辑却基于上述两者展开；直觉具有突发性、偶然性以及跳跃性，而逻辑却需要以推演的方式判断真伪、必然、连续且完整；直觉用于发明，而逻辑用于证明；直觉只可意会，而逻辑可以书面传播[6].然而，这两种表面上看相左的逻辑思维方式却都在几何问题的解决中起着非常大的作用.

学生在解决几何问题时最先采用的就是直觉思维方式进行知识的表征以及选择使用策略，通过对问题中的文字、数式、图表等数学元素进行初步加工，并在已有图式中寻找相似模型进行初步验证.在此过程中，正确的几何直觉往往是解决问题的关键，因为在几何问题中，难度上的差异一方面源于问题结构本身，另一方面就是源于主体在表征过程中的直觉感知和策略选择.在教学过程中，教师应努力让学生达到直觉水平，当学生把所学知识的背景、结构以及本质理解透彻以后，便可以将所得材料进行视觉化表征，也便达到了直觉水平；同时教师应该努力提高认知的维度和认知的过程维度，尽可能让学生了解知识的本质、能够富有创造性地转译与表征遇到的几何问题，在这种情境下的直觉会更持久，也会更容易迁移到类似的学习过程中.

由于几何直觉具有内隐属性，教师在教学过程中较难观察学生的相关水平，因此在教学过程中，除了可以借助学生对自己思维的言语表述外，还可以通过其完成的逻辑推理过程推测其是否获得正确的直觉表征.也正是由于其内隐性，受影响的程度也比较大，因此教师在教学过程中也要注意避免学生受到已有生活经验的误导，比如在考虑两条直线的位置关系时，很多学生会想到“垂直”这一特殊的相交情况.

3 总结

作为数学素养的一个重要组成部分，几何素养更关注学生的综合表现.学生除了要对几何知识有足够深入的理解并熟练使用所掌握的基本知识和技能，还要能够对问题呈现的背景或情境甚至涉及到的文化有所理解，能够在解决问题的过程中选择适合的知识和技能进行探究，表现出应用几何知识及自身综合能力解决实际问题的能力.

言语分析表征决定数学能力水平，而视觉空间表征决定思维类型.教师在几何内容的教学过程中还应该关注数学能力的综合发展，比如为学生提供足够多的机会用言语表述所见的几何问题，使其思维过程外显；引导学生提炼几何问题中的关键信息，培养其阅读内化能力；在教学过程中加强代数与几何之间的联系，为学生提供更多的表征工具；根据学生特点灵活运用具体图形、数与式以及文字之间的相互表征与转译；借助几何画板等工具的动态演示功能发展学生的空间以及图形运动的表征能力，以此丰富学生主体的认知结构，即主体已有的数学知识、解题经验、思想方法、策略等．