如何处理数学教学中的难点

陆世雄

[摘  要] 教师可以“由‘社会实践出发，降低难点的难度”“由‘异同点出发，构造处理难点的一般途径”“‘阶梯式教学分散教学难点”等，有效、透彻地处理好难点问题，提升学生分析问题和解决问题的能力，从而提升学生的数学素养[1].

[关键词] 数学难点;社会实践;阶梯式;思维定式

数学教学中所谓的“难点”，指引发学生的学习困顿，无法更好地理解和运用的知识点;也是教师教学过程中致力于破解的教学重心;更是引发学生学习成绩差距的根本. 处理好数学教学中的难点，一方面可以提升学生的数学思维水平，启迪学生的智慧，引导学生在知识学习的基础上，越站越高，越走越远;另一方面，也是对教师教学水平的检测和锤炼. 那么，在数学教学中，教师应如何理性、透彻、有效地处理好难点呢？下面，笔者借助自身的教学与实践，谈一点思考.

由“社会实践”出发，降低难点的难度

数学源于生活，又高于生活. 数学由于自身的学科特点，知识上体现出了抽象化的特征，学生的想象力容易被这种抽象化的知识所限制，无法生成理解. 因此，教师在数学教学过程中，应适时地选择一些生活中的实例，将抽象的数学知识具体化，引导学生在亲历中感悟知识.

比如，笔者在教学“平面直角坐标系”这一内容时，先将学生的座位行数和列数按照一定的顺序进行编号，之后引导学生观察并思考：

（1）某某学生的位置在第几行、第几列？

（2）位置在第5行、第3列的学生是谁？

（3）平面直角坐标系是如何建立的？

（4）平面直角坐标系上的点该如何使用坐标表示呢？

（5）能否说说直角坐标系内的点和它的坐标是哪种对应关系？

（6）如何根据点的坐标去确定点的位置？

数学家笛卡儿当年也是借助天花板上的蜘蛛产生灵感，进而创立了“平面直角坐标系”. 笔者借助一系列问题情境，引导学生进行梯度思考：问题（3）作为以上“问题串”的难点，借助了问题（1）（2）的铺垫，并在问题（4）（5）（6）中更好地实现应用价值[2]. 学生在实验和讨论中，更好地内化了知识技能，实现了知识的自然生长，培育了数学素养.

由“异同点”出发，构造处理难点的一般途径

课堂教学中，一些知识点较易混淆，教学难度大，教师应予以重视，并引导学生进行深度剖析，找出知识点之间的异同，进而透彻理解其本质，促进思维发展，建构知识体系.

例如，区分an与-an，（-a）n与-（-a）n时，需看清底数、底数的符号以及幂的符号. 再如，教师可以将四种锐角三角函数的概念进行归纳、整合，之后引导学生总结其共性：

（1）它们的条件创设一致，都为直角三角形;

（2）其中“弦”为直角边与斜边的比，“切”为直角边与直角边的比;

（3）所谓的“正”就是角的对边为分子，所谓的“余”就是角的邻边为分子;

（4）正弦值和余弦值均在0～1之间，正切值和余切值需大于0，可以比1大;

（5）角是自变量，比值则为因变量.

教师通过对知识点的对比分析，在充分理清混淆点的基础上，分析其中蕴含的丰富关系，能加深对知识的深入理解，进而实现知识的自然生长，促进学生的思维品质.

“阶梯式”教学分散教学难点

在数学课堂教学中，教师可基于学生的已有知识结构，创设低起点、高立意的目标习题，阶梯式地由浅入深、层层推进. 这样能让学生在教师精心创设的“阶梯式”教学环节中，逐级攀登. 笔者认为，学好数学的窍门在于学会“退级”，退回到问题的本质.

例如，教材中“二次函数的图像和性质”这一内容，在编排上就遵循了从特殊的“y=ax2（a≠0）”“y=ax2+k（a≠0）”“y=a（x-h）2+k（a≠0）”到一般的“y=ax2+bx+c（a≠0）”的基本规律. 再如，“幸运数码”问题——已知一串连续的自然数：1，2，3，…，n-1，n，将其按照从大到小的顺序按照顺时针的方向围成一个圆，先将数字1去掉，之后间隔数学2再去掉数字3……以此类推，每隔一个数字便去掉下面的一个数字，求出最后唯一仅存下来的幸运数码是几. 若n=2k，那么幸运数码为2k;若n=2k+p，那么幸运数码为2p，也就是2（n-2k）. 此题看似深不可测，实则尽显由特殊到一般的思维策略.

借助“类比”，突破思维难点困境

专家曾经说过：当理智在没有可靠论证思路的情况下，我们可以借助“类比”奋力前行. 数学知识是融会贯通的整体. 教师在教学中，可以引導学生通过知识的引申、相似、相逆等诸多方面来探究类比，从而进行推理. 在初中数学课堂教学中，借助类比剖析难点，成功解决难题的例子数不甚数. 比如，可以利用“三角形的中位线定理”来类比“梯形的中位线定理”;利用“平面三角形”来类比“空间四面体”;利用“三角形的面积公式”来类比“扇形、圆的面积公式”等. 当然，类比的绝对可靠性还有待考证，其优势主要体现在可以提升学生的自主探究意识，能培养学生的创造性上面，进而突破难点困境，提高有效性.

显露“思维定式”，剖析难点

在解题中，学生往往会被基本形式规律的永恒性所左右，也就是所谓的“思维定式”，进而出现一些自以为是的思路. 此时，教师可以借助问题情境的参与，防患于未然，将错误展露给学生，让学生生成感悟，深度剖析问题本质，找出症结，引导学生建构正确的认知生长点，准确剖析难点，激发思维结构的自然发展.

例如，笔者在教学“完全平方公式”这一内容的过程中，创设了以下问题情境：有一个发奋善思的学生，他的名字叫马虎，他从（ab）2=a2b2，

2=中猜想出（a+b）2=a2+b2，（a-b）2=a2-b2. 你认为他的猜想正确吗？请填写表1和表2进行验证.

[表1][a b （a+b）2 a2+b2 两者之差 3 6 81 45 5 8 169 89 ][a b （a-b）2 a2-b2

（a2+b2） 两者之差 3 1 4 8（10） 5 2 9 21（29） ][表2]

在填表的过程中，学生顿悟出这名马虎同学真是名副其实的马虎，他的猜想也仅仅是他自以为是的想法，引发了学生们的认知冲突. 当然，有时候错误是通向成功的小径，教师需借助这种共性错误引发学生思考，进而使之转化为教学素材，引导学生生成感悟. 笔者适时追问：“那我们思考一下两者之差和a，b是否存在关联，又是什么联系.”学生经过自主探究、深入观察，而后总结、归纳出：“差值刚好为a，b乘积的2倍. ”由此得出深度猜想（a±b）2=a2±2ab+b2. 此时笔者顺水推舟，根据乘方含义及多项式法则写出了如下式子：

（a+b）2=（a+b）（    ）=a2+（    ）+b2;

（a-b）2=（a-b）（    ）=a2+（    ）+b2.

以上案例，在外显思维定式中，深度剖析错误，引导学生建构正确的认知生长点，感悟新知识，最后进行深度强化，并借助法则和定义进行验证. 实践证明，这种独特的教学过程创设，教学效果显著. 通过这样的情境創设，学生丢中间项的错误明显减少.

借助教法，分散、融通难点

数学中，有些难点知识尤为重要，教师应基于学生的认知规律，运用各种教学方法，多方位、多角度、各领域地集中分散、融通难点，进而解决难点问题.

例如，笔者在教学“不等式的基本性质3”这一内容时，首先安排了一个课时去引导学生从具体数字到字母，借助数轴、相反数和有理数比较大小等知识来找寻规律，并总结归纳. 而后借助杠杆实验强化验证（如图1和图2）.

改变力的方向也就是相反意义的量，它的数学含义是同时乘“-1”，之后观察杠杆倾斜的方向是否发生改变. 事实上，“不等式的基本性质3”并非以一个孤立的命题形式而存在，依据“不等式的基本性质1”进行演绎推导，可得“不等式的基本性质3”，其可以帮助学生理性认识“不等式的基本性质3”，进而生成感悟——“不等号的方向需改变”.

例题已知x>a，求证：-x<-a.

证明因为x>a，即a

总之，对于数学中难点问题的处理，不是一朝一夕就能实现的，需要数学教师持之以恒的坚持，低起点，高立意，从具体走向抽象，从感性认识走向理性认识，借助多种教学手段，培养学生的挑战性和创造性，使学生的数学思维逐步深入和提升.

参考文献：

[1]李树臣. 论形成和发展数学能力的两个根本途径[J]. 中学数学教学参考，2002（9）.

[2]林俊伟. 数学课堂中的问题设置[J]. 中国数学教育，2011（z1）.