关于“统计与概率”内容教学的若干思考

潘小梅

[摘  要] “统计与概率”来源于生活实际，特别是其中所蕴含的“运用数据进行推断”的思考方法已经逐渐成为现代社会大数据时代一种非常普遍的思维方式. 但是，在现实的教学中，教师对此部分的教学不甚重视. 基于此，文章结合案例，谈谈如何改进“统计与概率”教学，以发展学生的数据分析观念.

[关键词] 统计与概率;数据分析观念;数据;推断;模型

在义务教育新课程中，“统计与概率”是与“数与代数”“图形与几何”“综合与实践”具有同等地位的学习内容，它的内容来源于生活实际，特别是其中所蕴含的“运用数据进行推断”的思考方法已经逐渐成为现代社会大数据时代一种非常普遍的思维方式. 但是，在现实的教学中，这部分内容与教师之前熟悉的代数与几何内容在研究对象、研究思路、研究方式等方面都有根本的不同，所以对教师的教学提出了较大的挑战;再者，中考等各类统考对这一部分内容的考查都比较简单，学生的实际掌握情况很难通过考试区分开来，这就使得师生对这部分内容的学习不够重视. 笔者在平时的听课交流中，发现了较多老师不以为然的、不合理的教学现象，本文试图透过这些现象挖掘成因，改进“统计与概率”内容的教学.

发展数据分析观念，把握核心价值

在中考评价考试中，“统计与概率”内容的常见考题是：区分必然事件、不可能事件与随机事件的概念，区分全面调查与抽样调查的概念;给出题目的部分信息补全统计图表;直接提供数据计算平均数、中位数、众数、方差等统计量;通过列表或画树状图的方法求简单随机事件的概率;根据表格中所列的频率写出概率. 因此，从“得分”的角度来看，这些考题基本属于“送分题”，学生只需要熟知基本概念、记住公式，便可以得到分数. 正因为考试评价的教学指挥棒作用，所以许多教师不愿意花时间研究“统计与概率”的教学内容，而将统计课教成了“代数课”，即重点介绍计算方法，如平均数只是让学生学会计算，而没有让学生理解平均数是反映数据集中趋势的统计量，概率则重点让学生学会画树状图以应付考试. 这与开辟“统计与概率”内容板块的初衷有极大的偏差.

事实上，“统计与概率”内容教学的核心价值是发展数据分析观念. 《义务教育数学课程标准》（2011年版）对“数据分析观念”的解释是：了解在现实生活中有许多问题应先做调查研究、收集数据，再通过分析数据做出判断，体会数据中蕴含的信息;了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适的分析方法;通过数据分析体验随机性，一方面，对于同样的事情，每次收集到的数据可能不同，另一方面，只要有足够的数据，就有可能从中发现规律[1].

数据分析观念可以从数据分析意识、数据分析技能、数据分析评判质疑能力三个方面加以理解和落实[2]. 数据分析意识，是指在现实生活、經济运行、生产营销等活动中遇到问题时，能想到先进行调查研究、收集数据，能想到通过数据蕴含的信息进行判断与决策，用数据说话等意识. 数据分析技能指的是设计活动方案、收集数据、整理数据、描述数据、分析数据和做出推断的技能. 数据分析评判质疑能力包括对自身统计活动的数据和结果进行评判与反思，以及对他人所提供的数据和结果进行合理判断的质疑意识与能力.

注重数学实验设计，帮助学生理解

树立数据分析观念，不是单纯地学习“统计与概率”中的名词，简单地掌握计算，而是要让学生亲身经历数据分析的全过程. 这里的全过程指的是收集数据、整理数据、描述数据、分析数据的过程. 要让学生经历数据分析的全过程，可以设计数学活动，让学生在数学活动中体验由数据进行推断、预测、决策的过程.

案例1浙教版九年级上册“2.1 事件的可能性”：体验可能性大小的活动设计.

活动设计1：一个不透明的箱子里有10个球：2个白球和8个红球，从中任意摸出一个，求摸到白球的可能性是多少.

活动设计2：一个不透明的箱子里有10个球，其中一些是白球，一些是红球，从中任意摸出一个，请你通过实验，说明摸到红球的可能性是多少.

评析古典概型的概率实验，其根本目的不是验证相关事件发生的概率值，也不是发现事件发生的概率值，而是帮助学生体会相应事件发生概率的含义. 对于活动设计1，学生已经能够通过列举的方法知道可能性为0.2，所以他们没有探究的欲望，这种用类似定义的方式教学随机，达不到培养学生随机观念的目的. 活动设计2则能让学生感受到每一次摸球的结果事先都不知道，但摸多了便能帮我们做一些判断. 学生通过活动设计2中的实验能感受到，对于同样的事情，每次收集到的数据可能会不同，特别是在具体的某次实验时某种情况不一定出现，但是在大量的重复实验时该情况会呈现出一些规律. 这样的活动，能让学生既体会随机的含义，又感受到数据中蕴含的信息.

案例2你会选择到哪一家公司应聘？

活动设计1：A公司和B公司员工一月份的工资情况如表1.

活动设计2：A公司和B公司招聘员工，小明想根据员工的收入情况确定去哪一家公司应聘，请你帮助小明设计一个调查方案，帮助他做出决策.

评析活动设计1直接给出数据，让学生进行判断;活动设计2则让学生自己给出调查方案. 对于活动设计2，在设计方案的过程中，学生需要明确统计目标，制定抽样规则，再收集数据、描述数据、整理数据，最后做出判断. 也许学生收集到的数据同活动设计1中的数据，但这些数据是学生自己想收集的，并不是被给予的、现成的. 活动设计2能让学生经历统计的过程，也能让学生对数据处理的过程和结果有比较准确的理解与解释.

史宁中教授指出，“我们赞成做实验，赞成用统计的思想做实验”. 不采用直接告知的方式而是通过数学实验来组织教学，目的是让学生真正参与活动，深化理解. 所以，在设计活动时，教师应让实验具有可操作性、探究性.

加强知识联系，掌握数据分析技能

学习“统计与概率”的相关内容，是为了发展学生的数据分析观念. 数据分析观念的培养要以真实的数据为载体，且由真实数据经历数据整理与分析的过程. 数据整理包括：将数据分组、计算各组频数、画频数分布表、画频数分布直方图、计算样本特征数（反映集中程度的特征数，如平均数、众数、中位数、加权平均数;反映离散程度的特征数，如方差、标准差等统计量）. 我们既要知道在何种条件下用什么样的统计量来进行整理，又要借助计算器或者纸笔运算来进行计算，以免因为计算错误导致推断错误、决策失误. 在教学中，我们要加强知识之间的联系，如以“类比”的方法帮助学生识记图表，掌握特征数的计算，提高数据分析技能.

案例3“条形统计图与折线统计图”教学片段.

师：在前一节课中，我们刚刚学习了统计表，今天老师给大家带来了一张未完成的统计表（表2），同学们觉得它缺少什么内容呢？

师：这样，一张完整的统计表就制作好了！它包含三个部分，即标题（含制作日期）、标目、数据. 根据统计表中提供的数据，你能看出哪两名学生的身高相差最多吗？

生（众）：（停顿了一会儿）学生3和学生5的身高相差最多！

师：你是怎么得到的？

生2：我通过比较这些数据的大小，发现最大数是1.80，最小数是1.48，所以学生3和学生5的身高相差最多！

师：我们全班有50名学生，要最快找出两名身高相差最多的学生，你有什么办法吗？

生3：要先知道每个学生的数据，然后像刚才一样比较大小……

（还没等他说完，另一个男生迫不及待地站了起来）

生4：让他们站起来！当然要站在同一平地上！

师：比如，像这样站起来！（老师边说边用FLASH动画演示，让人物按照表格对应的数据站起来，如图1）一站起来，我们不需要数据，并且能更快地发现学生3和学生5的身高相差最多！

师：现在我们在每一个人物对象的下方标上他们对应的“姓名”，画一条水平方向的直线，表示他们站在同一水平线上，再在旁边竖直方向上立一根标尺，表示他们的身高（如图2）. 你看，数据也很清晰地表示出来了！

师：这种“站起来比身高”的办法确实给数学家们带来了很大的启发，但是比身高要画人，比电视机的销售量要画电视机，是不是太麻烦了呢？

（还没等老师把话说完，学生举手了）

生5：那我们把“人”用一条线段来代替！（生5的回答出乎老师的意料）

生6：我觉得可以用“长方形”来代替“人”！

师：很聪明！大家都能各施奇招！为了让图形更直观、大方，我们用简单的图形——长方形来代替. 再把它对应的数据标在长方形的顶端. （接着，老师用FLASH动画演示把“人”替换为“长方形”的过程，如图3和图4）

生（众）：（欢呼）哇！

师：图4也包括了统计表中所有的信息，谁能给它取个名字呢？

生7：条形统计图！把统计表中的标题及制作日期写在图形的上方，这样，统计表中有的，这张图中也有了.

师：很好！我们再把统计表中的标题及制作日期写在图形的上方，这样一幅完整的统计图就制作好了！跟统计表比较，统计图有哪些要素呢？

生8：标题、标目、数据.

师：条形统计图与统计表相比，有哪些优势？

生9：更直观、形象了！

评析上述教学片段先让学生“填写完整的统计表”，既让学生经历了真实数据的收集过程，又自然地勾起学生对统计表三要素的回顾. 接着提出问题“根据统计表中提供的数据，你能看出哪两名学生的身高相差最多吗”和“我們全班有50名学生，要最快找出两名身高相差最多的学生，你有什么办法吗”，让学生通过思考自然想到“站起来”解决问题，出现了统计图的雏形. 然后，教师引导学生从水平线的姓名表示，到竖直线的标尺，以及“站起来比身高”，帮助学生体验从统计表到统计图的信息转换，并由此抽象、归纳出条形统计图. 在这个教学片段中，我们并没有告诉学生怎样画统计图，代之以如何将统计表中的信息转换到统计图中，把统计图作为数据信息的另一种呈现形式，并保持“标题、标目、数据”三要素不变，让学生学会一脉相承地来学习统计图表. 事实上，在后续的折线统计图学习中，学生已经能自觉地把统计表、条形统计图的信息进行转换，轻松地掌握运用图表进行数据分析的技能.

数据分析可以分为描述性统计分析和推断性统计分析. 描述性统计分析是通过集中趋势、离散程度、图形表示等来刻画数据，而推断性统计分析是利用样本数据去推测总体的情况. 教学“统计与概率”时，我们要运用联系的方式学习，如类比统计表学习统计图，类比频数分布表学习频数分布图，类比列表法学习画树状图的方法等.

归纳提炼模型，凸显问题解决

统计是为应用服务的. 《义务教育数学课程标准》指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径. 模型思想的建立不仅有助于学生运用数学思想方法解决问题，而且对提高学习数学的兴趣和应用数学的意识有很大的帮助. 在本板块中，我们会接触到较多的现实生活中的问题，也需要用学过的统计量来解决实际问题. 解决问题时，我们需要将实际问题转化为数学模型，这个“数学化”的过程就是归纳、提炼模型的过程. 教学中，我们应让学生经历数学模型的归纳、提炼过程，帮助他们逐步学会建立模型解决问题.

案例4《水库里有多少鱼？》教学设计（浙江省特级教师胡赵云老师执教）.

问题1：图5是一个大水库，要想知道水库里有多少鱼，你有什么办法？

问题2：如图6，在小学的摸球游戏中，你学到了什么？

活动1：老师给每一组同学准备了一袋棋子，如果不允许倒出来，你怎么知道袋子里棋子的组成？

活动2：袋子里装有形状相同的棋子，其中有20颗白色棋子，请你设计一个操作方案，估算袋里的棋子数.

问题3：我有一袋棋子，里面全是白色的，怎样估计袋子里面棋子的总数？

问题4：要想知道一桶大豆有多少粒，你有什么办法？

思考：怎样估计一片森林里有多少野鹿？怎样估计某城区里有多少野猫？怎样估计一片试验田的水稻产量是多少？在实际研究工作中，生态学家经常要估计所研究的生物种群的数量.

评析本课要解决的问题是“水库里有多少鱼”，许多老师会直接告诉学生按照“捉→放→捉”的操作思路进行估计，于是学生便学会了怎样解题. 但是，胡老师却花了大力气来讲“水库里有多少鱼”这一问题，目的是让学生经历模型建立的过程：提出问题（水库里有多少鱼）→回顾“箱中摸球”→实验“袋中摸棋”→思索“桶中数豆”→联想“水库数鱼”. 一系列环节，让学生亲历实验，经历收集、整理、分析数据的过程，感受“桶”“袋子”“水库”都是“莫大的箱子”，“棋子”“豆”“鱼”就是“球”，循序渐进地帮助学生建立模型，一步一步地理解模型. 课尾，胡老师又分享了4个类似的问题，并归纳科学家的解决办法，让学生运用“摸球游戏”的模型来解决问题. 这样的教学过程，能将模型思想悄然植入学生的内心，能让学生感受数据分析的价值和意义，感受数学在生活中的广泛应用，从而深刻诠释“概率与统计”教学的核心价值.

学生之前所学习的几何内容依赖的是公理和假设，从一般逐步推理到特殊，代数内容中法则、性质的教学虽也有从特殊到一般的归纳过程，但它们的结果是确定性的，而统计学是从特殊到一般进行不完全归纳推断，推断依赖的是数据和数据产生的背景，强调根据背景寻找合适的推断方法，从部分推断全体. 更确切地说，它们对结果的判断原则不同：代数与几何的判断标准是对与错;而统计学的判斷标准是优与劣的程度. 可以说，“统计与概率”是义务教育阶段唯一以随机的观点来理解现实世界的教学内容，它能帮助学生形成自觉运用数据进行推断的思维方式. 用随机思想解决问题，能逐渐形成随机的思维方式，能为学生的思维打开另一扇窗户，形成良好的数学思维结构.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]许芬英等. “浙江省中小学学科教学建议”案例解读——初中数学[M]. 杭州：浙江教育出版社，2015.