问题哪得清如许？唯有“外延”拓展来！

王锡康

摘  要：在解决实际问题的过程中拓展例题的外延，不仅可以激发学生的学习内需，还能提升学生对策略的理解和运用，更有助于学生的个性化发展。

关键词：例题;外延;解决问题策略;教学

解决问题策略的教学主要是培养学生的策略性，教学的过程中要激发学生对策略需要，唤醒学生思维的策略性，甚至建立一个完整的数学策略框架。“外延”视野给了我们一个很好的启发。

一、不易：难题驱动，引发策略

纵观各个版本小学数学教材，不难发现几乎所有的教材在解决问题的策略方面都有一个共同的特征：例题简单。教材在编写过程中顾及了绝大多数学生的学习需要，但也在学生学习的过程中出现了一些问题：很多学生在不学习策略的情况下也能直接解决问题，导致学生对策略的学习需求不高，热情不够，直接导致在后续灵活应用策略方面出现较大问题。

数学学习不仅仅是学科知识的学习和掌握，更加应该关注数学核心素养的培养，所以在教学过程中，教师应当在潜移默化中培养学生对难题的解决能力。在数学学习过程中不仅要有学科知识的掌握和提炼，更要有学习方法的掌握和贯彻，所以在数学学习中应让所有学生知道难和易是可以互相转化的，解决问题一般要从简单开始循序渐进，先易后难是数学学习的一般方式。

维果斯基的最近发展区（Zone of Proximal Development）（ZPD）指出：最近发展区是学习与发展产生假设推测的动力根源。最近发展区所指的是一个特定的距离——从孩子能独立解决问题，到获得成人或该文化中有能力的人的协助而完成工作之间的距离。“外延”视野正是建立在最近发展区理论上的一种手段。

将课本例题的外延不断提升和扩宽，例题的难度就会适当的增加，绝大多数同一外延下的难题学生很难直接根据已有的知识解决，运用这样的刺激促使学生对策略教学产生兴趣，提升学生对策略的内部需求。

例如，在苏教版四年级上册“解决问题的策略——画图”中，原例题是“小春和小宁一共收集了72枚邮票，小春比小宁多收集了12枚，两人各收集了多少枚？”一道典型的和差问题，将例题的外延不断拓展提高将它改成与之同一外延下的另一个问题“刘海粟小学有丰富多样的艺选班，其中集邮艺选班特别受同学们的欢迎，集邮班的46位同学一共收集了1392枚邮票，除了小春，其余同学收集的邮票都一样多，小春比其余每位同学多收集了12枚邮票，集邮班的每位同学各收集了多少枚邮票？”同样是和差问题，难度却有大幅提升，学生的解题思路受到制约，自然想用新的策略来解决问题。

例题变难不仅对学生的兴趣和策略需要一种刺激，还能在一定程度上让学生明确在什么情况下使用这种策略，促进了学生对解决问题策略的灵活掌握。通过难题的引入，不仅激发了学生的学习力，还能培养学生解决问题的策略性。

二、变易：化难为易，以易解难，掌握应用策略

老子说：“天下难事必作于易，天下大事必作于细。”就是说要解决难题必须从简单情况入手。从简单情况入手不仅是一种数学思维习惯，也是一种数学教學方法，还是一种培育数学创新素养的教育理念。

笛卡尔说：“按次序进行我的思考，从最简单、最容易认识的对象开始，一点一点逐步上升，直到认识最复杂的对象;就连那些本来没有先后关系的东西，也给他们设定一个次序。”看来化难为易、以易解难在古今中外都是一个解决难题的好策略。在如今外延视野下的解决问题策略中我们也从简单入手。

解决问题实际上就是在困难中找出路，过程的价值往往超越了答案本身。从简单入手，就是一种探索解决问题的策略，即在遇到复杂的困难的问题时，通过适当的转换，把它变成一个或者几个简单的能够解决的问题，再通过对简单问题的解析，发现解决问题的策略，最终化难为易，并以易解难。数学解题是一个把高阶复杂问题转化为低阶简单问题的过程，这样的转化有利于寻找解决问题的策略并用策略解决难题。分类讨论、特例尝试等都是典型的从简单入手的解题思路。

在上文中提到的较为复杂的46人集邮的问题，可以先转化为比较简单的2人情形，用画线段图的方法完美解决后，将人数增加至3人，再增加至5人……再逐渐增加到46人。在增加的过程中，既可以体会画线段图的优势，又能优化用画线段图的策略解决实际问题的过程，还能逐渐体会画线段图策略的适用范围，培养学生解决问题的策略性。

“化难为易，以易解难”更容易激发学生的学习热情，让更多的学生参与数学活动。从简单入手也可以形成更丰富的思维层次结构。在这样的体验中，学生自然会将难题化简，从简单中寻求方法，再解决难题这样的数学思维。“化难为易，以易解难”是一种良好的思维习惯，也是掌握数学知识来龙去脉的有效途径，更是一种实用高效的数学思维。

三、容易：灵活应用，超越策略

外延视野下的解决问题策略教学是对策略教学的一种大胆尝试和创新，它给策略教学注入了一种全新的活力。从“难题引入”到“化难为易，以易解难”，最后“灵活掌握”是一个完整的数学策略框架，通过整体架构势必能帮助完善学生解决实际问题的策略性。

小学生正处于心智发展的重要时期，他们希望获得教师的肯定，拓展例题的外延必然会使题目的难度陡增，在探究的过程中教师必然会给予更多的鼓励和支持，让学生在一种充满期待的氛围中进行探究，进一步提升学生的学习获得感。在这样的氛围中学生更加愿意思考和表达，用数学的眼光看待问题，用数学的思维分析问题，用数学的方式解决问题。问题复杂是为了思维的活跃，转化为简单是为了学的灵活，复杂问题简单化可以形成更丰富的思维层次结构，更容易激发学生的学习热情，让更多学生参与到数学活动中来。

学生是有发展潜力的人，外延视野下的解决问题策略教学能实现学生的可持续发展。在拓展外延的例题引领下，学生必然会独立思考、探究，提高解决问题的能力。在难题的引领下必然会学会带着问题思考和分析，让学生在思考过程中学会将复杂的问题转化成为简单的问题，将未学过的知识转化成为已掌握的知识，并采用由简到繁的方式逐渐增加难度，直至提升到这类问题的最外延，在解决例题外延的过程中实现学生的可持续发展。

“化难为易，以易解难”，学生容易接受，容易理解，解题的正确率也会大大提高。数学学习的兴趣总是和成功的喜悦紧密相连的，如独立地解决一道数学难题，做出一个数学猜想，想出一种新的解题方法，等等，都能使学生在这些“成功”中体验到创造的喜悦，激发学生更高的学习热情。

学生在策略学习过程中，从被动学习到渴望学习是学习动机的一大突破，外延视野下的解决问题策略教学在此基础上充分凸显了学生的学习能力，注重学生自主学习能力的培养。通过教师和学生的共同努力，必然能提高学习效率，促进学生个性化的全面发展。

“化难为易，以易解难”也体现了一种笃实的精神和态度。正所谓“道不可坐论，德不可空谈”，做人做事贵在一个“实”字。“化难为易，以易解难”就是一个笃实的解题过程。

从初遇难题时的无从下手，到“以易解难”时的层层推进，外延视野下的解决问题策略学习在知识与技能方面对策略的掌握和应用有了更高的要求，在过程与方法方面更加注重对难题的简化和解决过程，在思想态度和价值观方面不仅是对学生学习兴趣的激发，更是一种对成功体验的点燃。外延视野让孩子更加喜欢解决难题，让孩子学会解决难题，更促进了学生的全面发展。