基于结构化视角的数学知识教学

胡全会

摘  要：数学知识作为一个完整的整体，是结构化的、密不可分的;数学知识在内容上虽然具有迥然相异的特点，但在整体建构的数学概念中，却存在着结构化的“亲缘关系”，不同部分之间也存在着各种“类似”。笔者认为，需把握教学内容的结构，从整体上不断渗透思想方法，完善学生的认知结构，进而促进数学知识的整体化教学。

关键词：结构化;整体化;数学思想方法;认知结构

学生进行数学学习的行为是整体认知的行为，而教师进行数学教学的行为就是指导学生将课本中的知识结构转化为学生的认知结构的行为。这是一种学生与教师共同参与的交互活动，促进他们的共同成长。教师需要透彻地探究数学教学，用发展的眼光看待数学教学，站在系统化、整体化的高度进行创设，才能从真正意义上引导学生理解数学知识的本质，提升学生分析问题和解决问题的能力。学生在教师创设的教学模型与教学方法引导之下，系统有条理地掌握所学数学知识和技能，进而形成完整的数学知识体系，促进思维结构的不断生长。

一、基于“结构”统领教学内容，促进知识融合的整体性

数学具有抽象性和严密性的特征。数学知识与学生的认知生成一种强烈的矛盾冲突，学生需要经过反复实践，才能实现认知上由具体化向抽象化的转化。为解决这些矛盾，数学教材在编排方法上体现出序列性、递进性，知识间相互融通渗透，数、形、量以及应用题内容之间都存在着不可分割的关联。只有整体把握内容，融通知识间的联系，才能渗透知识结构的整体意识，进而凸显数学的本质。

教材中关于“百分数”的例题呈现：某小学十月份的用水量440立方米，比九月份节约水20%，请问九月份用水量为多少立方米？

教材中需要学生掌握方程x-20%x=440，而对方程x×（1-20%）=440却未做任何要求。教参上是这样解读的：（1）可以充分运用学生已有经验去解决问题;（2）为防止机械分类实际问题，形成对数量关系本质上理解的偏差，进而无法迁移运用数学知识与方法。笔者以为，需站在整体化的高度，凸显数量关系本质，融通数量关系与原有知识的联系，提升学生知识与方法的迁移能力，进而实现知识的举一反三。

师：我们回忆一下已学的较复杂的分数问题与分数的意义，我们还可以如何分析这一道题呢？

生1：题中所提到的“比九月份节约水20%”，也就是说“十月份比九月份节约”。

生2：我们可以这样思考，将九月份的用水的吨数平均分为5份，而节约的吨数占这样的1份，那十月份用水量就是这样的4份，运用整数方法解决为440÷4×5=550（吨）。

生3：九月份与十月份用水之比为5∶4，这样一来还可以转化用分数乘除法解题。

生4：十月份用水量相当于九月份的（1-20%），用除法可列式为440÷（1-20%）。

……

心理学研究显示，往往零碎的知识最不易记住，而加深记忆最好的方式就是将知识点进行串联、融合，并建立知识结构，感悟知识过程，进而提升对新知识的接纳度。学生一旦深度理解了数量关系，百分数问题也就能轻松自如解答了，对于一些综合性较强的百分数问题也能做到运筹帷幄。

二、基于数学思想方法的“渗透”，促进知识理解的结构化

教师需要注重数学思想方法的“渗透”，整体把握数学的基本结构，提升学生的能力。不少学生的数学知识网络结构薄弱，无法实现畅通无阻地提取知识，原因在于数学思想方法的渗透度不足。教师应精心选择一些具有较强迁移性和丰富内涵的问题引导学生进行探索，丰富学生数学思想，巩固数学知识。

比如推导圆的面积公式，教师基于圆的特征，遵从学生认知延伸探究，引导学生体验推导的过程，进而感悟平面图形面积推导之间的内在关联。

师：同学们，思考一下圆的面积与哪些因素有关联？

生1：如图1所示，在圆的外面画一个正方形，使它的边长与圆的直径相等，由此得出圆的面积小于半径平方的4倍，即S<4r2。

生2：如图2所示，在圆内画一个内接正方形，由此得出圆的面积大于半径平方的2倍，即S>2r2。

师：很好，确定了圆的面积和半径平方的关系之后，我们再观察一下图3，有没有一些新想法？

生3：从图中可以看出，圆平均分为6个扇形，如果我们将每个扇形看为近似三角形，由此可以看出弧长是三角形的底边，半径是三角形的高。

生4：你说得不对，如图4所示，假如将弧长拉直，看作半徑作为高的三角形，那顶角的度数一定会发生相应的改变，不再是原来的60°，要不然这个三角形就应为等边三角形。

（学生们经过一番讨论之后，教师呈现完整图形：圆外切正六边形以及圆内接正六边形）

生6：我认为，每个扇形的面积略小于较大正三角形，略大于较小正三角形。

生7：将扇形视为一个近似三角形，底边就是较小正三角形的底边，圆的半径就是高，圆的面积大约为半径平方的3倍，即S≈3r2。

生8：如果我们继续分，圆的面积是否推算得更为准确？

（教师又一次呈现出将圆平均分十二份和二十四份的外切和内接正多边形）

生9：将那些扇形拼在一起，是不是可以视为一个近似长方形或者平行四边形呢？这似乎与教材中的推导方法一样。

生10：随着分的份数的增多，扇形与三角形的贴合度就越高，如果我们将分成的扇形的个数用字母n来表示，三角形的底边即为弧长，三角形的高就是半径，圆的面积为S=C÷n×r÷2×n=2πr÷n×r÷2×n=πr2。

师：那你们认为，圆面积的公式推导和其余的平面图形有何异同之处？

生11：都需要将它们进行转化，使其转变为已学平面图形，借助分、画、拼等方法进行推导。

生12：圆面积推导起来较为复杂，需步步推进。

圆的面积推导无法实现一步到位，需要借助“转化”思想进行推导。从另外一个角度来讲，学生探索问题越“曲折”，知识的理解度就越高。教师需引导学生多番假设，多番推翻，在思维碰撞中生成火花，在不断探究中明确方向，在不断反思中寻求通性通法，进而融通思想方法，促进学生感悟数学知识。