《形学备旨》底本考

祝 捷

(中国科学技术大学科技史与科技考古系，合肥 230026)

自明末利玛窦(Matteo Ricci，1552～1610)与徐光启(1562～1633)合作翻译《几何原本》前6卷开始，对欧几里得几何学的系统翻译和介绍的中文著作不断出现，如艾儒略(Giulio Aleni，1582～1649)与瞿式榖合译的《几何要法》、清康熙皇帝组织编纂的《数理精蕴》中以巴蒂(Ignace-Gaston Pardies，1636～1673)著作为底本的《几何原本》，以及伟烈亚力(Alexander Wylie，1815～1887)与李善兰(1811～1882)续译的《几何原本》后9卷等。但是，这些著作的受众不是适龄学童，而是成年知识分子。直到19世纪后期，一些教会学校开始针对学龄儿童进行几何学基础教育，并编制了相应教科书，其中影响较大的是美国传教士狄考文(Calvin Wilson Mateer，1836～1908)编译并于1885年首次出版的《形学备旨》一书。该书内容详实，图文并茂，多次印刷出版，在当时的各类学校中被广泛采用，对几何学在中国的普及起到重要的推动作用。

关于该书有一些学者作了初步讨论[1- 3]，但仍有一些问题值得深入研究。例如，关于该书的底本，其自序说“是书之作，大都以美国著名算学之士鲁米斯(1)① Elias Loomis(1811～1889)，狄考文译为“鲁米斯”，有的文献译为“路密司”。本文中，除引文外，统一使用现在的通用译名“罗密士”。所撰订者为宗”[4]，但未给出具体书名。此后，传教士丁韪良(William Alexander Parsons Martin，1827～1916)曾说，该书是以罗密士(Loomis)的几何教科书为主要参考对象，同时参照了罗宾逊(Robinson)、派克(Peck)和沃森(Watson)(2)英文原文为：“He has taken Loomis for the basis of his present text book; and improved it by the addition of useful matter from Robinson, Peck, and Watson.”的几何教科书编撰而成[5]。傅兰雅(John Fryer，1839～1928)的看法与丁韪良相同[6]。但丁、傅二人未给出作者全名和具体书名。近年埃及开罗美国大学的格雷格·德·杨(Gregg De Young)教授指出，《形学备旨》的底本为罗密士的《几何与圆锥曲线》第15版、H·W·罗宾逊的《圆锥曲线和解析几何理论与实践的说明》、W·派克的《解析几何》和H·W·沃森的《平面与立体几何》(3)Young G D. Evangelism, Empire, Empowerment: Uses of Geometry Textbooks in 19th Century Asia. 12th International Congress on Mathematical Education, 8- 15 July 2012, Seoul:10.。然而，杨教授论述过略，一语带过，未能详细论证《形学备旨》与这几部西方著作的关系。不仅如此，笔者还发现，杨教授所给的罗宾逊全名和书名均有误，《形学备旨》的底本并不是罗密士《几何与圆锥曲线》第15版，且派克的著作中也没有《解析几何》一书。

那么，《形学备旨》的底本究竟是罗密士《几何与圆锥曲线》第几版？其中是否有罗宾逊、派克和沃森的几何教科书内容？狄考文参考了他们哪些著作？《形学备旨》与其底本的优劣如何？有哪些是狄考文添加的内容？对于这些问题，数学史界目前关注不多，本文将在前人工作的基础上对这些问题作进一步考察。

1 罗密士几何教科书的版本演变及其与《形学备旨》的关系

《几何与圆锥曲线》(ElementsofGeometryandConicSections)是美国气象学家、数学家和天文学家罗密士[7]所著的一本几何教科书，于1847年由美国纽约哈普兄弟公司(New York: Harper & Brothers Publishers)发行铅印版，全书226页。该书出版后十分畅销，一直不断再版。笔者梳理所收集到的版本，发现自1847年至1858年，竟达15版，截至1872年，总发行量达8万多册(4)指截至1872年的发行量，见1872年修订本的广告页。[8]，由此可见该书在当时的流行程度。

在《几何与圆锥曲线》再版过程中，罗密士对书中内容进行过增补和调整。最早，罗密士在书末增加了8页习题(5)如第15版的1858年印本。Loomis E： Elements of Geometry and Conic Sections (Fifteenth Edition)[M]. New York: Harper & Brothers Publishers, 1858.。从我们所掌握的版本(6)此处对比了1849年本，1851年第4版，第15版的1858年印本、1860年印本和1861年印本。Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections. New York: Harper & Brothers Publishers, 1849.Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections (Fourth Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1851.Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections (Fifteenth Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1858.Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections (Fifteenth Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1860.Loomis E. Elements of Geometry and Conic Sections. New York: Harper & Brothers Publishers, 1861.来看，1851年第4版中尚未出现这些习题，习题出现在1858年印刷的第15版中，说明其加入时间应该是在第5版到第15版中的某一版。之后，罗密士又在这些习题后面增加了58页的平面三角内容(7)如1871年发行的版本。Loomis E： Elements of Geometry, Conic Sections, and Plane Trigonometry. New York: Harper & Brothers Publishers, 1871.，并改书名为《几何、圆锥曲线和平面三角》(ElementsofGeometry，ConicSections，andPlaneTrigonometry)。根据我们所掌握的版本，这部分增加不见于该书第15版的1861年印本，但见于1871年的印本。所以，其加入时间和书名改变也应该在1861年到1871年间。不过，除了这些后续增加的内容外，在1872年之前，该书主体部分的内容基本没有改变，目录也保持原样，以至于新增的内容都没有体现在目录中。

1872年，由于原有铅版长期频繁使用致损，罗密士趁重新制版之际对原书进行了较大的修改和增补，并把书名改为《几何、圆锥曲线与平面三角(修订本)》(ElementsofGeometry，ConicSections，andPlaneTrigonometry. Revised Edition)，全书增至388页。

1872修订版相对之前本子的改动如下：(1)增加了几何学史的概述。(2)平面三角内容和习题在目录上有所体现(8)1871年版本已含有平面三角内容，但仅反映在书名上，未体现在目录中。，新增了对数表、四个象限的正弦正切对数表等内容。(3)把原来附于书后的习题，拆分到平面和立体几何部分之后。(4)第二部分立体几何(Solid Geometry)改名为空间几何(Geometry of Space)。(5)部分章节也更换了名称。比如：第一章总则(General Principles)改为直线图形(Rectilinear Figures)，第四章图形比例(The Proportions of Figures)改为多边形的比较和测量(Comparison and Measurement of Polygons)，第九章球面几何(Spherical Geometry)改为球面三角与球面多边形(Spherical Triangles and Spherical Polygons)，第十章圆体三种(The Three Round Bodies)改为圆体三种的测量(Measurement of the Three Round Bodies)。(6)修改定义。如线的定义由有长度、无宽度和厚度者为线，改为两平面相交所得为线，等等。(7)增加定理。如：修订本在第一章开篇，增加了一条定理——过直线上一点有且仅有一条垂线(From a given point in a straight line one perpendicular to that line can be drawn， and but one)；在第三章最后增加两条定理，其一为两割线若于圆内相交，其交角大小等于所截两弧之和的一半(The angle formed by two chords which cut each other is measured by one half the sum of the arcs intercepted between its sides and between the sides of its vertical angle)，其二为两割线相交于圆外，其交角大小等于所截两弧之差的一半(The angle formed by two secants intersecting without the circumference， is measured by one half the difference of the intercepted arcs)；等等。(8)删除难懂内容、引入新证法。如第一章定理十五用的新证法比原证法易懂。

到了1876年，罗密士又在1872年修订本的基础上添加了一个附录，并将该书更名为《几何、圆锥曲线与平面三角(修订本带附录)》(ElementsofGeometry，ConicSections，andPlaneTrigonometry. Revised Edition， with appendix)，整本篇幅变为443页。该附录是对书中几何知识的补充，由定理组成，其内容包括18条杂项命题的证明、通过极限求解正切、平面和空间上的轨迹、对称图形、横截面、调和比例、相似中心、正投影、透视投影、锥顶投影和球面投影等。除了这个附录，该书的其他内容则没有变化(9)此处对比了1877年本、1880年本和1895年本。Loomis E. Elements of Geometry, Conic Sections, and Plane Trigonometry (Revised Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1877.Loomis E. Elements of Geometry, Conic Sections, and Plane Trigonometry (Revised Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1880.Loomis E. Elements of Geometry, Conic Sections, and Plane Trigonometry (Revised Edition). New York: Harper & Brothers Publishers, 1895.。

从总体上来讲，罗密士的几何教科书自出版后至1872年前，只做了两次增补，即添加习题与平面三角内容。因主体内容无变化，本文暂把这些版本统称为原本。1872年，该书进行大规模修订，1876年在修订本基础上仅添加了附录，故本文把1872年以后的版本统称为修订本。

基于以上分析，为了厘清罗密士的书与《形学备旨》(10)关于《形学备旨》版本问题，笔者考察了第3次铅印(1897)、第5次铅印(1902)、第6次铅印(1903)、第7次铅印(1904)、第8次铅印(1905)和第11次铅印(1910)等13个版本，除个别印刷舛误外，其内容大致无变化。此处所选用于比对的本子为安徽省图书馆馆藏的光绪三十一年(1905)第8次铅印本。的具体关系，需对它们进行逐卷考察。首先，目录对比(表1)。

表1 《形学备旨》与罗密士书的原本、修订本目录对照表 (11)此处表示原本的该章节标题与修订本的不一致。

续表1

由表1可见，除去圆锥曲线、平面三角和附录，罗密士书的原本和修订本，在目录上共有四处不同。《形学备旨》有一章的译名相似于原本(圆体三种——The three round bodies)，三章译名接近于修订本(直线及三角形——Rectilinear figures、多边形之较与度——Comparison and measurement of Polygons、弧角形——Spherical Triangles and Spherical Polygons)。《形学备旨》把英文本的第九章和第十章对调。

其次，从内容上看，《形学备旨》卷3第19题(两割线若于圆内相交，其交角必以所乘两弧和之半为度，若于圆外相交，必以所乘两弧较之半为度)、卷4第34题(若于三角形外作切圆，并自腰间角作底之垂线，则两腰距内直角形，必等于垂线偕圆径之距内直角形)、卷5第29题(求作正方，与已知之正方相比，若已知之两直线相比)、卷5第32题(已知直角方形之面积，及相倚两边之较，求作其形)和卷8第20题案的图形等，均翻译自修订本，而原本不含这些题目。

最后，《形学备旨》开端有40例定义，其中有9例翻译自修订本，原本中未见到。3例同于原本，修订本中未见到。除此之外，开端中有23例定义在原本中能对应上的部分，修订本也均含有。

可见，《形学备旨》的翻译不仅依据了修订本，同时也参照了原本。所以《形学备旨》是参考多个版本进行编译的。

经笔者详细统计，《形学备旨》各卷定义共83例、定理共230例 、习题共158例。其中有77例定义、215例定理、76例习题翻译自罗密士的几何教科书(该统计不区分修订本和原本)。

然而，《形学备旨》仍有6例定义、15例定理和82例习题，以及开端中5例定义是罗密士书中所没有的，因此需要将《形学备旨》与丁韪良所说的罗宾逊、派克和沃森的工作做比对。

2 罗宾逊、派克和沃森教科书与《形学备旨》的关系

本文开端所述丁韪良提到的罗宾逊、派克和沃森，据笔者考证此三人为罗宾逊(Horatio Nelson Robinson，1806～1867)、派克(William Guy Peck，1820～1892)和沃森(Henry William Watson，1827～1903)(12)此处笔者查阅了纽约公共图书馆(New York Public Library)馆藏的1700～1900年间出版的几何书籍，并综合美国数学学会网站(www.maa.org)、美国的形成网站(Making of America)及谷歌学术等网站上有关数学家的传记和书籍，确定了罗宾逊、派克和沃森的全名。。

罗宾逊，原为美国海军学校数学教授(13)MOA(Making of America)[DB/OL].[2012- 09- 27]. http://quod.lib.umich.edu/m/moa/ABN6311.0001.001？rgn=main;view=fulltext.，所出版的几何教科书有3部。从内容上来讲，他的《平面、球面几何和圆锥曲线》(ElementsofGeometry，PlaneandSphericalTrigonometry，andConicSections)和《平面几何和球面三角》(ElementsofGeometry，andPlaneandSphericalTrigonometry;withNumerousPracticalProblems)与《形学备旨》相近。笔者粗略对比(14)此处对比了1854年第6版、1858年第15版和1867年版，其中1854年第6版和1858年第15版无区别。Robinson H N. Elements of Geometry, Plane and Spherical Trigonometry, and Conic Sections (Sixth Standard Edition). Cincinnati: Jacob Ernst, 1854.Robinson H N. Elements of Geometry, Plane and Spherical Trigonometry, and Conic Sections (Fifteenth Edition). New York: Ivison & Phinney; Cincinnati: Jacob Ernst; Chicago: S. C. Griggs & CO.; St. Louis: Keith & Woods; Buffalo: Phinnet & CO., 1858.Robinson H N. Elements of Geometry and Plane and Spherical Trigonometry; with Numerous Practical Problems. New York: Ivison, Phnney, Blakeman & CO., Chicago: S. C. Griggs & CO, 1867.这两本书，发现《平面几何和球面三角》是《平面、球面几何和圆锥曲线》的修订本。修订本删去了圆锥曲线的内容，把每章节的部分定义、假设、公理和数学符号统一在全书开篇进行说明，并新增、删改了一些定义，删减和添加了部分定理和推论，对于极个别定理还给出多种证法，但书中习题未做大的改动。把这两本教科书与《形学备旨》对照可知，《形学备旨》开端第一界(点，有所在而无所度者为点)、第三界(直线，线于两端之间，方向处处相同者为直线，如图甲乙是也)、第四界(曲线，线于两端之间，方向处处变易者为曲线，如图丙丁是也)，卷9第二界(圆柱体之内切体，于圆柱体之底作内切多边形，并依此形作与圆柱体等高之正棱柱体，即为圆柱体之内切体)、第三界(圆柱体之外切体，于圆柱体之底作外切多边形，并依此形作与圆柱体等高之正棱柱体，即为圆柱体之外切体)、第五界(圆锥体之内外切体，于圆锥体之底作内切多边形，并依此形作与圆锥体同尖之棱锥体，即为圆锥体之内切体。仿此依圆柱体底之外切形作棱锥体，即为圆柱体之外切体)等，卷2的第14题、第15题，卷4的第11题、第35题、第36题，卷5的第18题，以及卷10的13道习题，均翻译自《平面几何和球面三角》。

然而，《形学备旨》仍有少部分定义、定理和大部分习题出处不明，继续考察派克(15)派克，1820年10月16日出生于美国康涅狄格州(Connecticut)的利奇菲尔德(Litchfield)。他曾参加过弗里蒙特(John C. Fremont)的第三次探险远征和卡尼(Stephen W. Kearny)领导的墨西哥战争，退役后相继为美国西点军校数学与哲学助理教授、密歇根大学物理与土木工程教授和哥伦比亚大学数学教授。与岳父戴维斯(Charise Davies)一起完成了《数学辞典与数学大百科》(Mathematical Dictionary and Cyclopedia of Mathematical Science，1855)的编撰，并著有9部数学教科书，包含算术、几何、微积分和测量，其中几何教科书2部。所著的2部几何教科书。他的《几何与圆锥曲线手册》(ManualofGeometryandConicSections，withApplicationstoTrigonometryandMensuration)与《形学备旨》相近。笔者现有1876年本与年代不详本，这两本书除两处定理表述有些差别外，其他内容一致(16)此处对比了1876的两个本子和年代不详本。Peck W G. Manual of Geometry and Conic Sections, with Applications to Trigonometry and Mensuration. New York and Chicago: A. S. Barnes & Company, 1876.Peck W G. Manual of Geometry and Conic Sections, with Application to Trigonometry and Mensuration. New York, Chicago and New Orleans: A. S. Barnes & Company, 1876.Peck W G. Manual of Geometry and Conic Sections, with Application to Trigonometry and Mensuration. New York and Chicago: A. S. Barnes & Company.。《形学备旨》卷1、卷2和卷3有6道习题翻译自《几何与圆锥曲线手册》。

最后对比沃森(17)沃森， 1827年2月25日生于英国伦敦的马里尔伯恩(Marylebone)，数学家，英国皇家学会会员。他从国王学院和剑桥三一学院毕业后，在剑桥大学担任数学讲师，编写过一本几何教科书，还出版过《气体动力学理论》(Treatise on the kinetic theory of gases)、《电磁学的数学原理》(The mathematical theory of electricity and magnetism)、《静电学》(Electrostatics)和《磁和电动力学》(Magnetism and electrodynamics)等书。的《平面与立体几何》(TheElementsofPlaneandSolidGeometry)与《形学备旨》。笔者现有《平面与立体几何》的1871年本和1872年本。1872年本仅对1871年本的个别错误进行了修订，整体内容一致(18)对比的版本为1871年本和1872年本。Watson H W. The Elements of Plane and Solid Geometry. London: Longmans, Green, and CO., 1871.Watson H W. The Elements of Plane and Solid Geometry (Second Edition). London: Longmans, Green, and CO., 1872.。《形学备旨》卷1的第29题、第30题，卷3的第20题、第21题、第22题，卷5的第17题，卷1的10道习题，卷3的8道习题，卷7的1道习题，卷10的3道习题，均译自《平面与立体几何》。

经过详细爬梳，《形学备旨》在罗密士书中对应不上的定义、定理和习题，大部分可在罗宾逊、派克和沃森的书中找到。要说明的是，《形学备旨》对于勾股定理的证明是一题多证，证法和罗宾逊的修订本的两种证法相同，而罗宾逊的初刊本并无一题多证情况，故可以判断《形学备旨》与罗宾逊修订本吻合度更高。

具体统计结果为：《形学备旨》中定义有3例出自罗宾逊修订本；定理有6例出自罗宾逊修订本，6例同于沃森的书；习题有13例出自罗宾逊修订本、6例来自派克的书、22例同于沃森的书。

3 《形学备旨》文字来源的总体分析

对已有对比结果进行综合分析，可知《形学备旨》各章定义、定理和习题的总数分别为83例、230例和 161例。其中定义有77例翻译自罗密士的书，3例出自罗宾逊的书，3例出处不明；定理有215例翻译自罗密士的书、6例出自罗宾逊的书、6例同于沃森的书，3例出处不明；习题有76例翻译自罗密士的书、13例出自罗宾逊的书、6例来自派克的书、22例同于沃森的书，44例出处不明。见表2。

表2 《形学备旨》定义、定理和习题出处数目对照表

续表2

另外，《形学备旨》开端的40例定义，有9例翻译仅出自于罗密士原本，3例定义仅同于罗密士的修订本，23例为罗密士原本和修订本共同含有，4例来自罗宾逊修订本，1例不明出处。

至此，《形学备旨》的底本已基本确定：整体框架，绝大部分定义、定理和习题依据罗密士几何教科书的原本和修订本相互参照翻译；个别定义、少数定理和部分习题则参照罗宾逊的《平面几何和球面三角》、派克的《几何与圆锥曲线手册》和沃森的《平面与立体几何》编译而成。

4 《形学备旨》编译之优点

通过与底本的对照，我们可以看到狄考文对《形学备旨》的编写是用心的——不是简单的翻译，而是参考多种欧美教科书，进行综合编译。编译后有明显优于底本之处，主要体现在以下几点：

第一，对章节、定义和定理的调整，更符合学习认知过程。例如，罗密士的书第八章讲述棱体，第九章介绍球面几何，第十章是圆柱体。而《形学备旨》把罗密士书的第九章和第十章调换，卷9接卷8棱体讲圆柱体。两章对调但内容没有进行直接平移，《形学备旨》把定义和定理重新归类，分别写入各卷。例如，把有关球的基本定义和定理放入卷9。其中定义有球、半径、球心、大圆、球的切面、球带、球截体和球扇体；定理有卷9第7题(19)《形学备旨》每卷的“界”即“定义”，“界”后的“题”即“定理”。“凡平面过球，所割成之面周，必为圆”和第8题“于球径一端所作之垂面，为球之切面。反之，球之切面必为过切点之径直垂面”。这些定义和定理的调整为卷10引入弧角形(今球面三角形和球面多边形)做铺垫。

显然以上调换是符合认知逻辑顺序的。我们知道棱体和圆柱体是共性比较多的几何体，它们都是由平面围成且有底面和高，而球面是由曲面围成，没有底面和高。罗密士的书把圆柱体放到球面几何后介绍，没有与棱体衔接，使得关系紧密的知识点被割裂，在结构的安排上有一种跳跃感。经《形学备旨》调整过后，使得知识体系递进更有序。值得指出的是，现今中小学几何教学对于棱体、圆柱体和球的顺序安排几乎与《形学备旨》完全一致，也反映出《形学备旨》章节调整的合理性。

第二，《形学备旨》既是教师用书也是学生用书。书中标注学生学习和教师教学注意事项，以实现教学相长。这些内容出现在书的开端和正文中，以小于原书字号被标示出来[9]。例如，“形学凡例”部分有“先生命学生证题，必先使之画图”、“凡图中甲、乙、丙、丁等字，亦须随口以竿指明，口一言及某字，竿即指定某字，毋得乱行指挥，令闻者不知所视也”；卷4第10题最后有“此不遇略开层次，令学者循途自证之耳”，等等。这些是给予教师的具体教学建议和教具使用方法。

凡例部分还有“此书原为要学，凡欲洞悉其理者，非熟习之不可”、“学者必循次第，断不得躐等而进也”、“学此书者必用心习画图之法，使其正斜不差，远近毕肖”、“学此书之要诀有二：一在聚精会神，一察其理；二在按图以记其证”；卷1第15题后有“此题亦可按十四题之证法证之，即举其相当角，证其无大无小，学者自证可也”等等。这些是对学生学习时的要求，让其充分发挥主观能动性。

相比之下，《形学备旨》的众底本均未有告诉教师如何教学的注释，也未见如此详细的学习要求。可见，狄考文编写的教科书更专业化，同时也形成了特有的狄氏教科书编写形式。

第三，增补习题。《形学备旨》除卷8和卷9外，均附有习题，共计161例。这些习题大部分来自于四本底本，但仍有相当一部分习题出处不明，占习题总量的四分之一。自编的44道习题，在各卷的分布情况是：卷1有2例，卷2有6例，卷3有5例，卷4有2例，卷7有12例，卷10有17例。习题的作用是为了巩固所学知识点，使学生得到更全面的训练，以防学生“泥于成法，能学而不能用，虽学犹未学也”。而其众底本虽都含有习题，但数量少，且只覆盖部分章节。对于一个需要通过练习来不断加深所学知识的学科来讲，《形学备旨》在这方面做得更好一些。

5 结 语

编写一部优秀的教科书是一项繁复的浩大工程。《形学备旨》作为几何教科书，编译自欧美当时的畅销教科书，可以说底本选择上狄考文是有所考量的。狄考文对罗密士《几何与圆锥曲线》的原本和修订本进行相互参考，对定义、定理和章节进行调整，同时还参考罗宾逊、派克和沃森的几何教科书，弥补罗密士书的疏漏之处。

《形学备旨》编译成书后并未出版发行，而是在实际教学中不断调整修改。增补自编习题用于课后巩固所学知识点，同时在书中标注学习方法和教授注意事项，以达到最好的教学效果。光绪十一年(1885)《形学备旨》出版，它的这些优点使其在26年间印刷24次，不仅在全国教会学校被推广，而且在山东、福建、江苏、四川、浙江和湖北的私塾和新式学堂被广泛使用。

《形学备旨》的出现可以看作是西方几何学在中国普及的萌芽。不仅如此，在清末教育改革颁布新学制时，由于国人自编数学教科书匮乏，它填补了几何教科书的空白。相较于《几何原本》的传播，《形学备旨》的出版和使用，使得欧氏几何在中国得到更为广泛的普及。

致 谢本文初稿完成后，导师石云里教授和郭书春研究员进行了悉心指导和细致修改。谨此致谢!