三重积分的换元法的应用

黄昌盛

关键词 三重积分 换元法 广义球坐标系

中图分类号：O13                                  文献标识码：A   DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2019.10.032

Abstract Substitution method is often used in the calculation of integrals， however， the general substitution method of triple integrals is seldom involved in the textbooks of Advanced Mathematics. This paper will introduce the general substitution rules of triple integrals and then discusses the application of substitution methods in the calculation of triple integrals through some examples.

Keywords triple integrals; substitution; generalized spherical coordinates

0 引言

在一元函數定积分的计算中，换元积分法是最常用的积分方法，能够极大地简化积分的计算。然而对于多元函数的重积分，由于重积分的计算相对较复杂，因此在相关教材以及实际教学中一般只介绍相对简单的算例，直接用基本方法计算即可，因而很少介绍重积分的换元积分法。尤其是对于三重积分的计算，教学算例中的积分区域基本是由方程为标准形式的二次曲面或平面所围成，一般直接使用直角坐标系（投影法、截面法）或柱面、球面坐标系计算，[1，2]对于三重积分的一般换元积分法几乎不会涉及。然而有些类型的积分，用基本方法计算比较困难或计算过程较繁锁，有必要使用换元法对积分区域或被积函数进行简化。有鉴于此，本文将首先介绍三重积分的一般换元法，在此基础上，通过若干算例来探讨一般换元积分法在三重积分计算中的应用。

1 三重积分的一般换元法

对于某些类型的三重积分，通过适当的变量代换，可以使积分区域转变为更简单的区域。在这种情况下，可以使用换元法使变换后的积分计算方便。

通过以上例题可以看出，当积分区域较复杂难以下手时，恰当地使用换元法，可以将积分区域转变为较简单的区域，从而极大的简化积分的计算。因此掌握了三重积分的一般换元法，有助于我们解决部分常规方法难以处理的三重积分计算问题。

参考文献

[1] 陈传峰.三重积分的柱面坐标计算法[J].科教导刊（上旬刊），2013（09）：197-205.

[2] 蒋银山.三重积分的计算方法[J].科教导刊（上旬刊），2015（12）：51-52.

[3] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5] 同济大学数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2014.