数形结合思想在初中数学中的应用

汤石英

【摘要】在数学中，“数”与“形”是两大研究对象，这两者在一定条件下是互相联系，互相结合，互相转化的。所以在数学教学中，利用数形结合起来解决问题，可以使抽象数学问题简单化、具体化，让学生容易理解，从而使解题直观明了，便于学生解题，提高学生学习兴趣及其解题思维能力，从而到达喜人的成效。

【关键词】数形结合；教学；应用

在数学中“数”与“形”是两大研究对象，这两者在一定条件下是互相联系，互相结合，互相转化的，所以在数学教学中，利用数形结合起来解决问题，可以使抽象数学问题简单化、具体化，让学生容易理解，从而使解题直观明了，便于学生解题，提高学生学习兴趣及其解题思维能力。

一、数形结合思想在数学中的意义

数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来。数形结合体现为“形辅助数”和“数辅助形”，而“形辅助数”就是把抽象的数学问题转化为直观形象的图形，从而启发学生，引导学生找到解题思路；“数辅助形”就是在研究图形时，利用代数性质解决图形问题，也就是将抽象的语言和直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化。而初中阶段是学生數学思维形成的初期，学生对抽象的问题比较难理解和掌握，所以在初中数学教学中渗透和运用数形结合思想，有利于提升学生空间想象能力和逻辑推理能力，有利学生的形象思维与抽象思维的形成、融合，使学生对学习数学知识深入浅出地、直观地了解知识的内涵，使抽象的数学知识变得形象生动、直观具体，使学生感到易学、爱学，从而激发其对数学知识求知欲，调动学习积极性。

二、数形结合思想在解题中的具体应用

基于多年教学实践和经验总结，数形结合思想在解题中的具体应用主要体现在以下几个方面。

1.数形结合思想中“形辅助数”的具体运用

（1）数形结合思想在有理数中的应用

在初中阶段，学生刚接触有理数，如果单单是教师的文字叙述的话，学生就会对有理数的概念及其应用，及相反数、绝对值等都比较难理解。而结合数轴表示有理数，通过数轴能很好地帮助学生理解有理数相关概念，如相反数、绝对值等，并且利用图形能把知识点直观化，让学生通俗易懂，且奠定其解题思路。如对于一些只含字母的有理数大小比较的题目，学生往往容易混淆，如果能利用图形，就可以把这类题目变抽象为直观，达到简化的目的。

例：如下图所示，数轴上A、B两点对应的实数分别为a、b，则下列结论不正确的是（ ）

A. a+b> 0 B.a-b<0 C.ab<0 D.

分析：结合图形， 由题意-1

（2）数形结合思想在不等式组中的应用

在八年级解不等式组教学中，解不等式组是一个难题，尤其是讲解不等式组的公共解集时，单文字叙述公共的部分就是这不等式组的解集，学生是很难理解的，什么是公共的部分？而这时结合数形结合的思想，引用数轴，可将两个不等式解集表示在同一数轴上，这样就比较形象直观得出解集的公共部分，即不等式组的解集。

（3）数形结合思想在函数问题中的应用

函数对于初中生来是一个抽象的数学知识，也是重要知识内容。对于函数问题，数形结合思想是一个十分重要的解题手段。利用函数图像能解决很多函数问题，而且有利于提升学生空间想象能力和逻辑推理能力。

例：对于函数 ，下列说法中，错误的是（ ）

A.它的图象分布在第一、三象限。

B.它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

C.当x﹥0时，y的值随x的增大而增大。

D.当x﹤0时，y的值随x的增大而减小。

分析：函数中的k值为13﹥0，所以其图象分布在第一、三象限，函数值y随x的增大而减小，且反比例函数图象都是关于原点对称的。做此类题目，结合数形结合思想，在熟悉反比例函数的性质基础上，就能快捷准确地作出正确选择。

2.数形结合思想在“数辅助形”中的具体运用

（1）数形结合思想在函数中的应用

例：函数 与y=5x+17的函数图像有交点吗？如果有，它们交点的坐标是多少？

分析：这题如果让学生画图找交点，既耗时，同时也容易出错，如果利用数形结合的思想，可以把 与 y=5x+17转化为两个二元一次方程 和x-y=-17，然后联立方程组，通过解方程组的解，而这解就是这两个函数的交点坐标。

（2）数形结合思想在直角三角形中的应用

如下图，用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字， ≈1.732）.分析：这题能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，运用了数形结合思想与方程思想的应用。首先，根据题意可得GB=EF=CD=1.5米，DF=CE=8米，然后设AG=x米，GF=y米，则在Rt△AFG与Rt△ADG，利用正切函数，即可求得x与y的关系，解方程组即可求得答案。当然，数形结合的例子还不止这些，但从这些例子，我们更加肯定数形结合在初中阶段教学中的重要性，它不仅使学生通俗易懂，而且能调动学生的学习兴趣。

三、数形结合思想在实际应用中的成效

本人在从教初中四年间，深深体会到数形结合的重要性，比如，我现在所教的班级，在初一时我在教学时基本是“数”和“形”是分开的，在授课时学生觉得乏味，积极性不高，思维难以跟上老师的教学思路，以致对一些基础知识点掌握不够牢固，致使整个班的成绩很不理想。在初二时，经过不断学习别人的教学经验，特别是采用数形结合思想在教学中的应用，教学中我把这种思想有机渗透和明确陈述结合起来，在考虑对学生进行数学观念培养的同时，尤为重视数形结合等数学思想在解题中的指导作用，通过这样学生的学习兴趣调动起来了，从要他学转变我要学、我会学，突出表现为学生空间想象能力和逻辑推理能力提升了，因此解题能抓住条件，思路清晰，很多学生特别是成绩中等偏上的学生从解题困难到游刃有余，经过这样教学方法，我所教的班级成绩提升了，从初一平均分50分提升到60多分，特别令人可喜的是，在全国数学“希望杯”比赛中取得较大的突破，有三名学生在全国数学“希望杯”赛中荣获三等奖。

总之，数形结合思想是一种重要的数学思想，是进行素质教育的需要。教师要进一步注重它的科学性和系统性，把有机渗透和明确陈述结合起来，在考虑对学生进行数学观念培养的同时，更应该以一种创新的精神，以一种科学、有效的教学方法引导、传授，就如高度重视数形结合等数学思想在解题中的指导作用，这样才能在教与学中取得喜人的成效。

参考文献：

[1]付东峰.中考中的数学思想方法：初中数学（修订版）[M].龙门书局， 2013.

[2]刘雨智.浅谈数形结合在解题中的应用[J].各界（科技与教育），2009.