抛物线在全国卷高考小题中的案例分析

徐兴涛

摘 要：抛物线是圆锥曲线中的重要类型之一，抛物线的定义、性质又是高考中经常考查的重点和难点，而在小题中出现的频率很高，因此本文借助高考真题，从抛物线焦点弦长、性质、与三角形和圆的综合运用及与平面向量的结合等方面进行案例分析。

关键词：抛物线;焦点弦;圆;三角形;平面向量

一、焦点弦性质的应用。

（1）我们清楚若直线为过焦点，倾斜角为θ，交于A，B的弦长为|AB|=x1+x2+p;

如例题1（2017.全国卷Ⅰ.10.）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）.

A.16 B.14 C.12 D.10

如图1所示，

，当时取得“=”，从而得到正确选项A。

（2）在（1）的基础上得到面积，如图2，，

所以，

如例题（2014.全国卷Ⅱ10.）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）

A. B. C. D.

得到面积为，选D

（3）以焦点弦为直径的圆与准线相切。

如例题（2018.全国卷Ⅲ.16）已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直線与C交于A，B两点.若∠AMB=90°，则k=________.

方法一：如图3所示，以焦点弦AB为直径的圆与准线相切，根据抛物线的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，取AB的中点为N，可得MN为梯形APQB的中位线，。

又|MN|在x轴上的投影为|KH|，|MK|=|NH|=1，则，所以，即可得到，解得k=2。

方法二：由方法一得到MN为梯形APQB的中位线，设A（x1，y1），B（x1，x2），则，根据，得到y12-y22=4x1-4x2，即。方法二采用点差法进行求解，从代数角度解决弦中点问题。

二、抛物线的定义及性质与几何图形的综合运用。

（1）抛物线的定义与三角形相似比的综合运用。

平面几何中三角形、平行四边形等图形的几何性质与平面解析几何融合考查是高考中的一热点，体现知识的综合性，对知识进行整合，从而灵活运用，如三角形中的平行问题或三角形的相似问题在高考题中考查频率比较高。

如（2014.全国卷Ⅰ.10.）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=

A. B. C.3 D.2

如图4所示，过Q作QH⊥l，则QH/x轴，根据，得到，即可得到，解得，根据定义

选C。

又如（2017.全国卷Ⅱ.16）16.已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=       .

如图5所示，作MH垂直于准线于H，交y轴于K，则，得到三角形相似，对应边成比例，，解得|KM|=1，所以|MF|+|KM|+2=3，|FN|=6

通过两题可以看出，这两题极为相似，可以说属于同一道题，考查抛物线的定义及三角形相似问题进行求解，比较起代数法求解，更加简洁，运算不再复杂，得分率将会提升。考题中会借助中位线、相似比、平行线中的同位角及内错角进行综合。

（2）抛物线的定义及性质与圆的综合运用。

考题中会综合圆的性质、垂径定理、圆幂定理等圆的相关知识，需要紧扣性质进行运算。

如（2016.全国卷Ⅰ.10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为

A.2 B.4 C.6 D.8

如图6所示，设A（x，），解得，根据半径，由勾股定理得到

，即有

解得p=4，根据p的几何意义得到B

三、抛物线与平面向量的结合。

我们知道，平面向量是连接集合与代数的桥梁，平面向量与抛物线的综合自然是高考中的一热点，在运算中常伴随的是线性运算和数量积运算，考虑从代数运算着手。

如（2018.全国卷Ⅰ.8）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=

A.5 B.6 C.7 D.8

如图7所示，此题考查直线与抛物线相交问题，转化为代数运算求解设，设直线的方程为，

联立，解得，，解得，选D。

考题中常常还会三点共线问题，向量垂直等问题，用三角形法则或者平行四边形法则进行有效转化，通过线性运算和数量积运算进行求解。

通过以上考题可以看出，小题中解答首先从图形的几何性质入手，通过曲线的定义、几何性质等考点为着眼点，与直线、三角形、四边形等几何图形融合，所以小题中优先通过几何法进行解答;部分考题还需要考虑从代数运算的角度进行求解。

参考文献

[1]普通高中课程标准实验教科书A版数学选修2-1[M].北京：人民教育出版社，2013.