高中三角教学中有效渗透数学思想方法的案例分析

乐小良

【摘要】在高中三角内容的教学中，从内容上看纷繁复杂和灵活多变，但进行教材分析之后我们发现较多有章可循的地方，不是零散而无序的，而是完整的知识体系。还有贯穿整个体系的脉络，也是体系的精髓——数学思想方法。数学思想方法不是以具体的教材内容出现，却是统领学生学习三角知识的指挥棒，也是衡量学生数学学习能力的重要标志。笔者在现有的教学经验基础上依托中学数学教育教学规律，探讨教师在三角内容的教学实践中怎样实现全面有效渗透数学思想方法。结合教学实例分析各种数学思想方法在三角内容中的应用，证实三角教学中渗透数学思想方法的研究价值。

【关键词】高中数学；三角教学；数学思想；有效渗透

一、研究的背景

高中教材中的三角部分系統性强，有相对完整的知识体系，可以根据学生的特点在三角学习的过程中加强思想方法的训练。众所周知，思想引领着知识，学生在学习知识的时候，如果不始终贯穿思想，学生学习的知识是零散无效的，学生的思维能力也得不到发展。因此在研究高中三角内容的教学时，应从教学中如何渗透数学思想方法着手。在三角教学中较好渗透数学思想方法不仅解决学生学习三角困难而且可以发展学生的数学思维能力，为学习其他数学知识打下坚实的基础，建立学生学好数学的自信心。同时也是发展教师专业能力的良好途径。另外对三角内容的考查一直是高考的关注点，研究近几年高考试题我们可以发现，考查内容主要是运用三角函数的函数内含解决数学问题和运用解三角形知识进行三角形边角关系的推算。弱化了繁难巧的三角变换考查，符合《新课程标准》提出重视对基本概念的教学，以及培养学生数学思想和数学核心素养的要求。

数学思想是数学本质的思维形式，它是在提高学生数学思维能力中获得的。数学思想不仅引领知识，也启发思维。随学生思维的成熟和知识的积累，学生逐渐掌握数学思想方法并将其转变为知识的迁移能力，学生具备了知识的迁移能力才可能应对灵活多变的问题。所以在教学实践中，教师应逐步渗透数学思想方法，并在教学活动中帮助学生建立数学思想方法引领数学思维的学习模式。

二、数学思想方法在三角教学中的应用案例分析

三角函数是体现数学思想的经典案例，在解不等式，比较大小，最优化的问题时常常将三角函数作为媒介达到解决问题的目的。在三角教学中渗透函数思想主要体现在以下两方面：其一，运用三角函数特殊性质解决求值、证明、不等式、方程等问题；其二，用三角代换将其他问题通过转移到三角问题上来，利用三角知识灵活性和多变性解决原有问题。

高中常见的数学思想有：数形结合思想，分类讨论思想，函数与方程思想和化归转化思想。下面结合三角教学案例来分析如何有效渗透各种数学思想方法。

1.数形结合思想

恩格斯说过：“研究客观世界里物质之间量的关系和空间关系的科学是数学。”数形结合有两个方面。一方面，“以形助数”是以图的直观性指导思维方向，得到解决问题的思路。另一方面，“以数解形”是在解决问题时通过计算的数量来解决具体几何问题，这表明了“数和形”巧妙结合。实现数与形之间来去自如的转变，需要理解数所含的形，形所需的数。

代数的可运算和几何的可操作都集中在数形结合思想之中。在高中数学教学中运用广泛，以下进行举例说明。

在三角教学中渗透数形结合思想解决问题类型如下：

1.求值域（取值范围）中的数形结合思想

例1 求函数 的值域。

图4

分析：原函数可以改写成，我们可以把该式视作定点A（3，-2），和动点连接的斜率，设，则由： ，x2+y2=1知，动点B表示的是单位圆。则y表示连接定点A与单位圆上任意一点B的直线的斜率，如图4所示，设直线1的方程为y+2=k（x-3）即kx-y-3k-2=0圆心到直线l的距离不大于半径得 ，解出k的值即为函数的值域。

解：由知，y表示定点A（3，-2）和动点连线的斜率，设，则由：，s2+y2=1知，动点B为单位圆。则y表示连接定点A与单位圆上的任意一点B的直线l的斜率，如图1所示设直线l的方程为y+2=k（x-3），即kx-y-3k-2=0。圆心到直线l的距离不大于半径得，解之得，所以函数的值域为

注意在运用数形结合求解三角函数的问题时，应时刻牢记动点（acosd，asind）表示圆，遇到分式想斜率，遇到平方和想距离。

2.证明或求值中的数形结合思想

求证：

分析：，直线l：ax+by=1，则点A与点B均在直线上也均在单位圆上，即它们是直线与单位圆的交点，如图5所示设圆心o到直线l的距离为d，由平面几何知识知，代入数据化简即可得到要证明的结论。证明设，直线l：ax+by=1，则点A与点B是直线与单位圆的交点，如图2所示圆心到直线的距离为d，由平面几何有

2.分类讨论思想

将复杂多变的问题按一定可行的标准对关键要素进行分类，分类要注意做到不重不漏，在每类情况中这个要素是确定的，所以每类的问题变得简洁可行，达到解决原有问题的目的。三角函数知识中蕴含了丰富的分类讨论的思想。三角函数的周期性、正弦余弦平方关系中符号的确定、三角变换中的诱导公式都是常见的讨论点。在解决该类型的题目时，要时刻记住注意对相关角及参数进行分门别类的讨论。

例3 化简：

解析：原式=

（1）当n为偶数，即时

原式

（2）当n为奇数，即时

原式

所以。

分类讨论思想往往不是单独使用，和其他数学思想方法一起被综合运用，例如在复合函数的单调性和最值问题中，应结合整体思想进行分类讨论。

例 4 求函数的最小值.

分析：本例考查了学生的整体代换、分类讨论的数学思想，以及函数图像如对勾的函数的单调性 。其中k 是个待定常数，“对钩”函数的最值与常数k 的取值有关， k的取值范围确定了“对钩”函数的单调区间，求最值点需要依据单调区间的确定，为了解题的方便一般用整体代换法，因为整体代换是通向数学本质的一座桥梁，它能够将复杂问题简单化。

3.函数与方程思想

函数思想是将遇到的问题通过观察、联想构造成已经掌握的函数模型上来，再研究这个函数的性质达到解决原有问题目的。方程思想是将数学问题中的数学关系用含未知数的等式表达出，达到解决问题的目的。三角的学习过程中函数思想和方程思想非常常见，例如初中学习的二次函数和一元二次方程经常是被用来研究含三角函数的复合函数问题的突破口。将刚学习的三角问题用熟练的函数性质来解决，方程方法也是解决三角问题的较好途径之一。

例5 函数的最大值

分析： 为求函数的最大值，需转化为某一个角的同一种三角函数，从而需建立 与之间的关系，为此，自然想到，引入辅助函数，设，则

所以

利用二次函数的性质可求最大值为。

例6 设为锐角，且

求证：

证明：将已知的等式整理成以为变量的一元二次方程：

其判别式

所以

又为锐角，，于是有

又因为

所以，即

4.化归转化思想

化归转化思想将遇到的问题通过逻辑推理转化到已掌握的知识和能力上来。在学习新知的过程中经常是题目的已知条件和题目的问题存在较大距离，只能借助已有的知识或解决模式来分析面对的新问题，将面临的问题转移到已掌握的方法上来。从而顺利解决棘手的问题。三角函数中常见的转化问题有“切化弦”“统一名称”“统一大小”“整体代换”等。化归转化思想的关键是要从表象看本质，通过适当的转化来解决问题。在三角教学中我们可以经常看到化归转化思想的运用，例如体现在两角和差公式推导出倍角公式中，研究一般三角函数性质和与其他函数性质的关联中。

例7 已知，求 的取值范围。

分析：由可得

因为，所以

解得或

故

令，则，（转化为二次函数）

因为的对称轴为，所以

即的取值范围是

点评：本题的解法体现了化归转化的数学思想方法，把困难的函数问题转化为简单的二次函数的定义域，值域问题。但在转化过程中要注意三角函数的范围问题，此题中的最小值不是-1。

再如比较常见是将三角函数依题意代入已知条件中，利用三函数值的封閉性确定其他参数的范围，也可将参数视为含三角函数的复合函数并以此来求值域，从而确定参数的范围，顺利完成化归转化。

例8.关于x的方程有实数解，求实数m的取值范围。

解：原方程可化为

所以

故所求范围是

点拨：例题利用三角代换，转换参数x成，快速解m，跨度较大，但巧妙灵活。

解决三角问题的过程是在三角函数定义、图像及性质理解基础上对角的值、函数名称和代数结构进行变换的过程。题型有化简、求值及证明等不同的形式，但其中包含的数学思想方法还是有章可循的，运用以上转化、化归思想，可以帮助学生将面临的问题进行转化到自己的能力范围内，从而提高学生学习的自信心和内驱力，引导学生走进创新思维的殿堂中。

作为数学教育的核心内容——数学思想的培养是一个广泛而深刻的课题，本文只是对三角内容隐含的数学思想方法进行了案例分析方面的研究，整个高中数学应如何渗透数学思想方法的教学研究需要广大数学教育工作者们更深入地探讨，为突破高中数学教学中的重难点问题提供更多更好的方法。

参考文献：

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