简述二次函数在应用方面的几点思考

王一涵

[摘 要：二次函数在航天、航海、建筑、工业生产、投资理财等领域都有广泛的应用，也正是实际的应用推动二次函数不断完善，二次函数的考察方式非常灵活，应用性较强，不仅是科研的重要内容，也是初等数学的重点难点，在高中学习中非常重要。二次函数和其他知识点联系紧密，这就要求同学们对二次函数有更深的把握，适应对知识点进行联合考察，本文对二次函数知识点进行全面梳理，以便加深同学们对知识的学习能力。

关键词：二次函数；联合考察；实际应用]

一、引言

在新的课程改革中，着重强调数学的改革方向是更加注重实用性，注重在教学过程中把握理论与实践的结合程度。“为学之实，固在践履”，在学习过程中，要熟练掌握工业生产和经济运行中数学知识的应用实例，并掌握如何独立研究一些实际课题，达到学以致用的目的。新的课程改革中，在中学都安排了相关任务，根据学生的掌握能力与培养方向而有所不同，但是都重视数学知识与自然科学、社会实践的结合。

二、二次函数应用的解题思路如下

（1）分析问题。

（2）确定问题中的变量、常量以及相关关系。

（3）以数学表达式的方式描述变量、常量的关系。

（4）运用二次函数的知识求解。

（5）检验计算结果。

三、二次函数与物理相关的应用

在解决此类问题时，要首先建立数学模型，将相关的内容转换为二次函数，再通过二次函数的性质求解。下面通过举例来进行说明。

（1）直线等加速运动。匀速直线运动中，运动距离等于速度乘以时间，公式为S=vt。而直线等加速运动中，速度会随时变化，运动距离和时间、加速度、初始速度都有关系。公式表示为：[S=V0+12at2]。

由此可知，当速度增加一定时，距离是时间的二次函数。

（2）自由落体运动。在忽略空气阻力时，自由落体是在地球重力作用下的直线等加速运动。初始速度为0，速度增加值为的9.8米/秒，可以表示为g，具体公式为[S=12gt2]。

（3）动能。物体在运动过程中会产生能量，物理上称为动能，具有的能量叫做动能。用E表示动能，m表示物体质量，v表示速度，则动能的计算公式为：[E=12mv2]。

例1：从地面向上抛球时，初始速度为10m/s，g取10m/s2，求时间t和高度h的关系。球从抛出到地面需要多久？什么时间达到3.75m？

解：高度h是时间t的二次函数，公式为[h=10t-5t2]。

当h=0时，[ 0=10t-5t2]，

計算的t=0或者t=2，即抛出2秒后，回到地面。

当h=0时，[3.75=75t-5t2]，

计算的t=0.5或者t=1.5，达到3.75m的高度。

四、二次函数与实际生活相关的应用

例2：某工厂生产一台设备固定成本2万元，每生产一台增加投入100元，x为设备的月产量，收益的函数为：当x在0到400的范围时，R（x）=400x+1/2x2；当x大于400的范围时，R（x）=80000。

（1）求利润约月产量的函数f（x）。

（2）获得最大利润为多少，此时的产量为多少？

解：

（1）设单月的生产量为x台，总的成本为20000+100x，当x在0到400的范围时，f（x）=-1/2x2+300x-20000，当x大于400的范围时，f（x）=60000-100x。

（2）当当x在0到400的范围时，求f（x）=-1/2x2+300x-20000的最大值，x=300，此时最大值为25000。当x大于400的范围时，f（x）是减函数，也就是此范围的数值小于x=400时的数值，因此每月生产300台设备的时候，利润最大，为25000。

五、利用最大值、最小值计算二次函数中的相关条件

例3：若f（x）=x2+2x+3在区间[M，0]的最大值为3，最小值为2，求M的取值范围。

解：先求f（x）的顶点坐标，横坐标x=-1，纵坐标y=2，因此顶点坐标为（-1，2），如果M<一1，根据函数的图形可知，f（x）关于x=-1对称。f（0）=3，f（-2）=3，f（-1）=2，由此可知，M的取值范围为[-2，-1]。

六、利用最大最小值求解函数表达式

二次函数有三种表达式，一般式，顶点式和双根式，在实际应用重要利用性质选择恰当的表达式进行求解。

例4：二次函数f（x）满足f（2）=-1，f（-1）=-1，最大值是8，求二次函数。

解：利用二次函数的顶点式求解，设函数表达式为f（x）=a（x-m）2+n。

由题意可知，函数的对称轴为x=1/2，所以f（x）=a（x-1/2）2+8，代入f（2）=-1，可知-1=a（x-1/2）2+8，因此a=4，代入化解可知f（x）=-4x2+4x+7。

利用相关条件求二次函数常用待定系数法，选用适当的表达式进行计算。如果已经知道抛物线的顶点或对称轴，常用顶点坐标。如果已知抛物线和x轴交点且知道横坐标选用双根式。

七、总结

二次函数的运算非常重要，也是考试的重点，在同学们的学习中，必须通过大量的练习，掌握不同类型计算题的方法，才能达到预期的目的。

参考文献

[1]杨芸.二次函数最值的应用[J].安顺师范高等专科学校学报，2005，07.

[2]陈紫翔.二次函数在高中数学应用的浅析[J].数学爱好者，2008，02：49-50.