从法拉第电磁感应定律的微积分形式

李真义

摘要：法拉第电磁感应定律是高中物理中电磁感应的核心内容，也是整个电磁学的核心知识，它既与“电场、磁场和恒定电流”有紧密联系，又是今后学习“交流电”的基础。但对于其中的感生电动势与动生电动势的理解往往会令学生困惑以至于很多学生会死记硬背公式然后盲目套用。本文将从法拉第电磁感应定律的微积分形式理解高中物理中的感生电动势与动生电动势。

关键词：法拉第电磁感应定律；高中物理；电磁学

法拉第电磁感应定律叙述如下：通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势εi与磁通量对时间的变化率成正比。如果采用国际单位制法拉第电磁感应定律的数学表示为

εi=-Φ=BScosθ（S为导体围成的周界面的面积，θ为B与S的夹角）

一、当导体围成的周界面的面积S既不扩张和缩小，也没有旋转，即满足①、③条件下，若磁场强度B的大小随时间变化，则满足

εi=Scosθ

这就是高中阶段所说的感生电动势：固定回路中的磁场发生变化，使回路中磁通量变化，而产生的感生电动势（induced electromotive force）。产生感生电动势时，导体或导体回路不动，而磁场变化。

下面以一道高考题为例来对感生电动势进行理解：

（08全国卷Ⅰ）矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直低面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图所示。若规定顺时针方向为感应电流I的正方向，下列各图中正确的是（ ）。

答案选D。0-1S内B垂直纸面向里均匀增大，则由楞次定律及法拉第电磁感应定律可得线圈内产生恒定的电流，方向为逆时针方向。

二、当磁场强度B的大小不随时间变化，即满足②条件下，有

εi=-Bcosθ+BSsinθ

这就是所说的动生电动势。

⑴当磁场强度B的大小不随时间变化，B与S的夹角θ不随时间变化，即满足②、③条件下有

εi=-Bcosθ

此种物理情景在高中物理中多以导体在匀强磁场中切割磁感线的情况存在，以长为L的导体在匀强磁场中以速度V匀速切割磁感线运动时间t为例：

εi=-Bcosθ

=-Bcosθ

=-Bcosθ

=-BLVcosθ

高考中对导体在匀强磁场中切割磁感线的考察是比较常见的，如：

（2011年上海卷）电阻可忽略的光滑平行金属导轨长S=1.3m，两导轨间距L=0.75m，导轨倾角为30°，导轨上端ab接一阻值R=1.5Ω的电阻，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场垂直轨道平面向上。阻值r=0.5Ω，質量m=0.2kg的金属棒与轨道垂直且接触良好，从轨道上端ab处由静止开始下滑至底端，在此过程中金属棒产生的焦耳热Q=0.1j.（取g=10m/s2）求：

（1）金属棒在此过程中克服安培力的功W；

（2）金属棒下滑速度u=2m/s时的加速度a.

（3）为求金属棒下滑的最大速度um，

有同学解答如下：由动能定理，….由此所得结果是否正确？若正确，说明理由并完成本小题；若不正确，给出正确的解答.

此题中就涉及到导体在匀强磁场中切割磁感线的考察，第二问：

感应电流：

安培力：F=BIL

由牛顿第二定律得：mgsin30°-F=ma

计算得出：a=3.2m/s2

⑵当磁场强度B的大小不随时间变化，导体围成的周界面的面积S不随时间变化，即满足①、②条件下，有εi=BSsinθ

在高中阶段以交变电流部分最为典型，如在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴以角速度ω转动的线圈（θ=ωt）

εi=BSsinθ

=BSsin（ωt）

=BSsin（ωt）

=BSωsin（ωt）

即ωt=，这时感应电动势最大值Em=BSω，感应电动势的瞬时表达式为：e=BSωsin（ωt）

可见在匀强磁场中，匀速转动的线圈中产生的感应电动势是按正弦规律变化的.即感应电动势的大小和方向是以一定的时间间隔做周期性变化.

参考文献

[1]刘秀华.关于感生电动势和动生电动势问题的讨论[J].大学物理.1985（05）

[2]黄甲安感生电动势及动生电动势表达式与E=-（dΦ/dt）的等价性讨论[J].广西物理.1999（01）