“变题”的方法与技术

邓彦军

关键词：变题；相似；创新；最小值

执教二十年的我，随时都在思考如何让抽象的教学概念，数学问题与学生的生活实践、知识储备、思维规律相适应，打造高效课堂，提高教育教学质量，培养学生合作探究的习惯，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。形成良好的数学素养，为以后的学习和工作打下坚实的基础。带着这个梦想，我一直在教学一线上不断尝试“变题”的这一教学模式，使枯燥乏味的数学问题简单化，使学生轻松的走出题海，取得优异的成绩。

“变题”在数学教学中有着很重要的作用，通过变题可以加深对知识的理解，通过变题可以更加突出知识的本质，揭示知识的内在联系，丰富教学方式，帮助学生学学会、会学、活学知识，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力。变题方法在教学中老师要善于分析问题，对问题进行有效重组，坚持求同存异的原则，提高习题的质量，这样才能更好地进行变题训练。

一、形式相似，本质类同式变题。此类变题较普遍，一般是在新知识讲解中运用，引导学生进行正迁移，不仅利于掌握新知识，也能让学生对已有知识加以巩固。例如在讲了平行线等分线线定理后有一道习题为：

已知：如图1：AB//CD连接AC与BD相交于点M，过点M作MN//AB交BC于点W

求证：

证明：∵AB//MN CD//MN

即：（1）+（2）得：

故：

变题1（如图2）当AB⊥BC CD ⊥BC垂足分别为点B C，连接AC，BD相交于点M ，过点M作MN ⊥BC ， 垂足为点N

结论 是否照样成立？答案是肯定的。

∵AB⊥BC CD⊥BC MN⊥BC

∴AB//MN MN//CD 又回到上题中去了！

变题2（如图3）若前提条件不变，AB=3 cm CD=4 cm

求 MN的长（利用前面结论即可求出）

变题3（如图4）：连接AC与BD相交于点M，不过点M作平行线或垂线而是连接AD

则易证：（1）SΔBCM = SΔAMD

（2）SΔBCM.·SΔBCM = SΔABM ·SΔCMD

这一结论的运用在数学考试中会经常出现。

通过这样形式相似本质类同的变题，可以让学生将知识进行内在的联系，主动建构知识，加深对知识的理解。

二、形式相似，本质不同。此类变题是以学生看似很难，但它还是不会脱手课本上所学的基本知识，只有吃透、理解、思考时才会得心应手，轻车熟路。例如，近几年陕西中考题填空题的最后一题，都是求线段或面积的最大值或最小值，其实质还是利用了课本上：直线外一点与已知直线上点的所有连线段中，垂线段最短。

（一）变题1（如图5）若点C是⊙O中AB弦上的任意一点且OC⊥CD 若AB=2 ；求CD的最大值

分析：连接OD 易知OD=R，在RTΔOCD中斜边一定，要求CD最大值，只须OC最小或最短，即过点O向AB作垂线，垂足为点C，根据垂径定理易知

变题2（如图6）在RTΔABC中，∠C =900 AC=3 BC=4， ⊙C 的半径为1，P点是AB上的任意一个动点，过P点向⊙C 引一条切线，则最短的切线长。

分析：∵切线垂直于经过切点的半径

∴半径一定，要切线长最短，只能PC最短

故：P点的位置应是过点C向AB做垂线时垂足的位置

易知

变题3（如图7）在RTΔABC中，∠C=900 AC=BC=4，∠1=∠2，点Q和P分别是AD 和AC上任意一点，求CQ+PQ的最小值，且在图中标出Q和P的准确位置。

分析：要使CQ+PQ最短，显然要利用两点之间线段最短，故过点C作CM⊥AB交AD于一点即为Q点，PQ要最短，易知过Q点作QP⊥AC，交点即为P点，易证QP=QM

所以，CQ+PQ=CQ+QM=CM=2

变题4（如图8）在RTΔABC中∠C=900 AC=BC=2，D点是 AB上任意一点，求ΔPCD的周长最小值。

分析：要求ΔPCD的周长最小值CD的长度一定，因此只要PC+PD最短，故过点C作CO⊥AB且OM=OC，连接BM，AM，PM 易知四边形AMBC为正方形， PM=PC，

故，PC+PD+CD=PM+PD+CD=MD+CD= +1

（二）如图4-3- 8，点A的坐标为（-1， 0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）.

A（0，0）

B（ ）

C（ ）

D（ ）

分析如圖4-3-8，先过点A作AB'⊥OB，垂足为B'，由垂线段最短可知，当点B与点B'重合时，AB最短。因为点B在直线y=x上运动，所以

∠AOB' =45°。

因为AB'⊥OB，所以△AOB'是等腰直角三角形，过点B'作B'C⊥x轴，垂足为C，所以△B'CO为等腰直角三角形，因为点A的坐标为（-1， 0），所以 ，所以点B'的坐标为（ ），即线段AB最短时，点B的坐标为（ ）.

答案 B

（三）如图4-Z-8，直线y= x+ 4与x轴、y轴分别交于点A和B，C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时，点P的坐标为（ ）

A.（﹣3，0）

B.（﹣6，0）

C.（﹣ ，0）

D.（﹣ ，0）

图4-Z-8分析作点D关于x轴的对称点D'，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图4-Z-8所示，令y= x+4中x=0，则y=4所以点B的坐标为（0，4），令y= x+4中y=0，则 x+4=0，解得x=-6，所以点A的坐标是（- 6，0）.因为C， D分别为线段AB， OB的中点，所以C的坐标为（ - 3， 2），点D的坐标为（0，2）因为点D'和点D关于x轴对称，所以点D'的坐标为（0， -2）.设直线CD'的函数表达式为y=kx+b（k|0）.因为直线CD'过点C（ - 3，2）， D' （0， -2）， 所以b= - 2①， -3k+b=2②，把①代入②，得k=- ，所以直线CD'的函数表达式为y= -.令y= -中y=0，则0=-，解得x= - 所以点P的坐标为（﹣ ，0），故选C

答案C

三、对变题的反思

一个人智慧的高低，可以从他思维的灵敏度、清晰度、广泛度反映出来，我们要培养和造就无数的有慧心、有灵气、会学习、有创新能力的人，就要教会科学的思维方法，挖掘自身潜能，提高学习效率和整体素质。通过变题的训练，开阔了学生的视野，同时又取得了举一反三、触类旁通的效果，变题不仅能巩固基础知识，而且能深刻提示问题的内在本质属性。多层次，多角度地培养和锻炼发散思维能力。因此老师在讲变题时，首先应注意基础知识的教学，再发散他们的思维，但也不能设置过难、过偏的题形，这样会让学生感到不知所措。总之，变题后引导学生对问题进行观察、分析、归纳、类比、抽象、概括，让学生体会变题带来的乐趣，享受探究带来的成就感，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学。