“变题”的方法与技术

摘要：执教三十余年的我，随时都在思考如何让抽象的教学概念，数学问题与学生的生活实践、知识储备、思维规律相适应，打造高效课堂，提高教育教学质量，培养学生合作探究的习惯，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。形成良好的数学素养，为以后的学习和工作打下坚实的基础。带着这个梦想，我一直在教学一线上不断尝试“变题”的这一教学模式，使枯燥乏味的数学问题简单化，使学生轻松的走出题海，取得优异的成绩。

关键词：变题；相似；创新；最小值

“变题”在数学教学中有着很重要的作用，通过变题可以加深对知识的理解，通过变题可以更加突出知识的本质，揭示知识的内在联系，豐富教学方式，帮助学生学学会、会学、活学知识，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力。变题方法在教学中老师要善于分析问题，对问题进行有效重组，坚持求同存异的原则，提高习题的质量，这样才能更好地进行变题训练。

一、 形式相似，本质类同式变题

此类变题较普遍，一般是在新知识讲解中运用，引导学生进行正迁移，不仅利于掌握新知识，也能让学生对已有知识加以巩固。例如在讲了平行线等分线线定理后有一道习题为：

已知：如图1：AB∥CD连接AC与BD相交于点M，过点M作MN//AB交BC于点W，求证：1AB+1CD=1MN

证明：∵AB∥MNCD∥MN

∴MNAB=CNBC（1）MNCD=BNBC（2）

即：（1）+（2）得：MNAB+MNCD=CNBC+BNBC

=CN+BNBC=BCBC=1，

故1AB+1CD=1MN.

变题1（如图2）：当AB⊥BCCD⊥BC垂足分别为点BC，连接AC，BD相交于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N

结论1AB+1CD=1MN是否照样成立？答案是肯定的。

∵AB⊥BCCD⊥BCMN⊥BC

∴AB∥MNMN∥CD，又回到上题中去了！

变题2（如图3）：若前提条件不变，AB=3cm，CD=4cm

求MN的长（利用前面结论即可求出）

变题3（如图4）：连接AC与BD相交于点M，不过点M作平行线或垂线而是连接AD

则易证：（1）S△BCM=S△AMD

（2）S△BCM·S△BCM=S△ABM·S△CMD

这一结论的运用在数学考试中会经常出现。

通过这样形式相似本质类同的变题，可以让学生将知识进行内在的联系，主动建构知识，加深对知识的理解。

二、 形式相似，本质不同

此类变题是以学生看似很难，但它还是不会脱手课本上所学的基本知识，只有吃透、理解、思考时才会得心应手，轻车熟路。例如，近几年陕西中考题填空题的最后一题，都是求线段或面积的最大值或最小值，其实质还是利用了课本上：直线外一点与已知直线上点的所有连线段中，垂线段最短。

变题1（如图5）：若点C是⊙O中AB弦上的任意一点且OC⊥CD若AB=23；求CD的最大值

分析：连接OD易知OD=R，在RTΔOCD中斜边一定，要求CD最大值，只须OC最小或最短，即过点O向AB作垂线，垂足为点C，根据垂径定理易知CD=12AB=12×23=3.

变题2（如图6）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙C的半径为1，P点是AB上的任意一个动点，过P点向⊙C引一条切线，则最短的切线长。

分析：∵切线垂直于经过切点的半径∴半径一定，要切线长最短，只能PC最短

故：P点的位置应是过点C向AB做垂线时垂足的位置。易知PM=15119.

三、 对变题的反思

一个人智慧的高低，可以从他思维的灵敏度、清晰度、广泛度反映出来，我们要培养和造就无数的有慧心、有灵气、会学习、有创新能力的人，就要教会科学的思维方法，挖掘自身潜能，提高学习效率和整体素质。通过变题的训练，开阔了学生的视野，同时又取得了举一反三、触类旁通的效果，变题不仅能巩固基础知识，而且能深刻提示问题的内在本质属性。多层次，多角度地培养和锻炼发散思维能力。因此老师在讲变题时，首先应注意基础知识的教学，再发散他们的思维，但也不能设置过难、过偏的题型，这样会让学生感到不知所措。总之，变题后引导学生对问题进行观察、分析、归纳、类比、抽象、概括，让学生体会变题带来的乐趣，享受探究带来的成就感，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学。

作者简介：唐纪成，陕西省汉中市，汉台区铺镇初级中学。endprint