浅谈格林公式在计算曲线积分中的应用

李玉荣

摘要：本文通过举例展示了格林公式及由格林公式推导出的四个等价命题在计算第二型曲线积分中发挥着非常重要的作用。

关键词：格林公式;曲线积分

格林公式将平面闭区域上的二重积分与沿闭区域的边界曲线上的第二型曲线积分联系了起来。

一、下面先给出格林公式及由格林公式推导出的四个等价命题

定理（格林公式）：设闭区域由分段光滑的曲线围成，若函数（，）及（，）在上具有一階连续偏导数，则有

其中是的取正向的边界曲线。

由格林公式可以推出以下四个等价命题，即在前提条件成立的情况下，以下四个命题是等价的。这四个命题在曲线积分的计算中发挥着非常重要的作用。

条件：j区域是单连通区域（若对于平面区域上任一封闭曲线，皆可不经过以外的点而连续收缩于属于的某一点，则称此平面区域为单连通区域，通俗地说，单连通区域是没有“洞”的区域）;

k（，）及（，）在内具有连续的一阶偏导数。

四个等价命题：

1、在内，与路径无关，只与起点、终点有关。

2、

3、在内存在，使

4、在

注意：以上四个命题等价的两个条件缺一不可。

二、举例

1、当给定曲线较复杂时，可以利用积分与路径无关，选取简单路线。

例1 计算，其中为由点到点的曲线弧。

解：由于曲线较复杂，所以先检验积分是否与路径无关。

满足第4个命题，从而由命题1，原积分与路径无关。

所以选取为的折线，

2、当给定曲线较复杂，但积分与路径有关时，可以补充曲线使其封闭，然后利用格林公式来计算。

例2 计算，其中为由点（a，0）到点（0，0）的上半圆周+=，。

解

即，积分与路径有关。

补充曲线为（0，0）到（a，0）的线段，

所以原式

3、若是某个函数的全微分，则可利用曲线积分求出该函数，即

例3 验证在整个平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个。

解：由于

所以是某一函数的全微分，且

参考文献：

[1]高等数学[M].北京：高等教育出版社.2014

[2]数学分析[M].北京：高等教育出版社.2010