转化思想在解中学数学题中的应用

徐雁明

【摘要】数学教学的核心在于数学思维的培养。转化思想是中学数学的基本数学思想之一，也是数学思想方法的核心。转化思想是指在分析解决问题时把那些待解决问题通过某种转化过程，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答。因此，解题时要善于将复杂化简单，陌生化熟悉，一般化特殊，数形互化等。

【关键词】中学数学；数学解题；转化思想

转化思想的应用十分广泛，在较为综合的数学问题解决当中离不开转化思想——把复杂的问题化为简单的形式，把抽象的问题化为具体的，把不熟悉的化为熟悉的，甚至数化为形。所谓分析和解决问题的能力，就是不断转化的能力，同时逻辑思维的过程，也是不断转化的过程。数学问题的设计都是围绕着最基本的数学概念、定理、知识、方法而进行的，都是为考查“三基”服务。因此，无论问题设计得多么复杂，总能经过适当的转化，把问题归结到最基本的知识。为此，在解答数学问题时要善于将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，转化思想是解答数学问题的重要思想。

一、 “一般”化为“特殊”：对一些“成立”问题，常常可以取几个“特殊值”进行分析

例1. 证明：对任意m∈R，直线y-mx+

3m+2=0恒通过定点，并求出该定点的坐标。

分析：对任意实数m，直线总过定点，因此，当m=0或m=1时，直线也过定点。所以，定点的坐标应满足方程组

这里便体现着“一般”（对任意实数m，直线总过定点）化到“特殊”（m=0，m=1时，直线也过定点）的转化。

解：令m=0，m=1，有 ， 则有 。把它代入原直线方程得到式子：-2-3m+3m+2=0。此式对任意实数m恒成立，所以对于任意实数m，直线 y-mx+3m+2=0恒过定点（3，-2）。

二、“不熟悉”转化为“熟悉”：常常可以把极坐标中不熟悉的问题转化为直角坐标来解决，复数中不熟悉的式子转化为实数式（实行公式应用转化）

例2 .求在极坐标系下的圆

的圆心坐标。

分析：我们学习极坐标方程的时间较短，接触不多，对其不太熟悉。因此，我们较难知道 是怎么样的圆，但化为直角坐标后，求圆的圆心坐标是我们很熟悉的。应该注意的是，最终结果是圆心的极坐标形式，而不是直角坐标的形式。

解：把极坐标与普通方程的互化公式：

代入极坐标方程，得到圆的直角坐标方程： ，所以，

因此圆心的直角坐标为 ，再转化为极坐标形式为 ，

即圆 的圆心坐标为 。

三、“未知”化为“已知”，把问题的特定量通过题意条件转化到已知部分去求解

例3.设f（x）是 上的奇函数，

f（x+2）=-f（x），0≤x≤1，f（x）=x，则f（7.5）等于 （A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5）

分析：f（7.5）不在0≤x≤1上，我们无法直接求出f（7.5）的值 ，必须对f（7.5）作适当的转化使f（7.5）最后在0≤x≤1。

解： f（7.5）=- f（5.5）= f（3.5）=- f（1.5）= f（-0.5）

又f（x）是奇函数， f（-0.5）=- f（0.5）=-0.5，故答案为B。

四、“立体”化为“平面”，在某些立体问题中需要考虑其展开图，而立体几何中的计算一般是转化成解平面三角形的相关问题

例4.在母线长为20cm，上下底面半径分别为5cm，10cm的圆台中，从母线AB的中点M拉一根绳子，围绕圆台侧面转到B点， ①求绳子的最短长度；②求此状态的绳子和圆台上底圆周的最短距离。

分析：空间中解决此问题难度较大，因为立体几何比较抽象，我们应把圆台的侧面展开到平面上，把空间问题转化为平面问题。

解：如图，设圆台侧面展开图的圆心角为α，OA=r 则有

解得r=20

由10π=αr 和r=20

得α=π/2

∴绳子的最短长度为

作OD⊥MB， 则

∴ED=24-20=4cm，则绳子和圆台上底圆周间的最短距离为4cm

五、“几何条件”转化为“代数式”（或代数方程），在解析几何中常常涉及到一些几何条件，如线段长度，直线垂直等，应转化为成相应的代数式或方程

例5.直线l=mx+1与椭圆C： ，交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点），求点P的轨迹方程。

分析：设 ，因为OA、OB为平行四边形OAPB的邻边，令E为OP的中点，则E也为AB的中点，通过适当的转化，可以求出点P的轨迹方程。

解：设 ，OP的中点为E，则E的坐标为（ ， ）。 由

消去y，得

由韦达定理得 则有

即AB的中点为E

，于是 消去m，得点P的轨方程为。

六、“多”化“少”，一个式子往往有多个变量或成分，利用题意或适当的方法，减少变量或变式成分，让问题易于处理和判别

例6.求抛物线上的点，使得该点与点P（5，0）的距离取最小值。

解：在抛物线任意取一点 m（x，y），则y2=4x

∴当x=3时， 取最小值4，即抛物线上的点到P点的距离的最小值为4。

七、“动”与“静”的转化，数学中许多静止状态的图象的位置与形态可以运动的观点理解为运动的特殊位置和形态，能使静止的图形具有活力，而运动从它的反面找到它的量度，从可变性中挖掘其内在确定性

例7. 如图边长为2a正三角形ABC顶点A、B，分别在x轴和y 轴上移动，求顶点C 原点O的距离d的最小值和最大值.

分析：动三角形ABC看作相对定点O不动，而O相对三角形ABC运动。此时点O运动轨迹为以AB为直径的圆，问题就转化为求C到圆上的点的距离的最大值和最小值。

解：将三角形ABC固定，原点O相对三角形ABC运动，其轨迹是以AB为直径的圆。设其圆心为p，半径为a，则

由平面几何知，可得 。

八、“数”“形”转化，数与形是数学研究的两类不同对象，但对同一个问题往往可以用数与形两种形式规划，二者相互沟通和转化，既可以发挥数的严密性，又可以体现形的直观性

例8.已知实数x，y满足

求y/x的最大值。

分析：本题直接求解较为困难，但是把问题转化为求直线OP斜率的最大值。

解：画出 的图形 ，设直线OP的方程为y=kx，则有当直线与圆相切时，直线的斜率最大。

∴当圆点（2，0）到直线的距离为d，且半径 时，直线与圆相切。

即 ，解得 ，∴斜率 最大值为 。

总之，这些不同类型的转化，远远不能概括“转化思想”的丰富内容，而且这些类型也不是绝对的，而是互相交叉、互相渗透的。譬如“一般”化“特殊”， “不熟悉” 化“熟悉”等，特别是“数” 与“形”转化，我们常用的一些思想方法，对此我们是熟悉的，还要“熟练”的。教师在平时的教学中要善于引导和鼓励学生在学习上和生活中经常运用转化思想，这样，将能解决更多的数学问题。

参考文献：

[1]翟文刚.转化思想在数学解决中的运用[J].中學数学研究，2000：12—14.

[2]张骞，刘玉云.实施化归与转化的原则[J].中学数学杂志（高中），2003：46—48.

[3] 广东省试题.《中学数学研究》.1999，11—12：16.