对《一道模考题的解题困惑》的肤浅思考

1 呈现原题

题1：对于满足0

a+b-ca

的取值范围是（）

A.1，74

B.（1，2]

C.[1，+∞）

D.（2，+∞）

题2：设二次函数f（x）=ax2+bx+c的导函数为 f′（x） .若对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则

b2a2+2c2的最大值为.

2 遭遇困惑

上述題1、题2是《一道模考题的解题困惑》（以下简称文[1]）中所研究的两道试题，其中，题1为选择题，题2为填空题.拜读该文，感同身受.其实，文中遭遇的困惑也是我们一线师生经常遇到的困境，可以说这是中学数学中的一类疑难杂症，在此感谢时老师及时提出这一带有普遍性、针对性的问题.以下将文中的解答简要摘录并适当添加了序号，方便后续更好地说明问题.

3 原始解答

3.1 题1解答

解法一：函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，则Δ=b2-4ac>0c

据此得到

a+b-ca>a+b-b24aa①

a+b-ca>1+ba-14ba2.

令t=ba，注意到0wECDGNtxws413JqJxL4nwLRMGTjWr9Oo6GACccOwcTY=

是

y=1+t-14t2∈（1，2].

a+b-ca>2.②

故选D.

解法二：由题意可得

a+b-ca=1+ba-ca.

注意到

Δ=b2-4ac>0

ca<14ba2.③

令ba=x，ca=y，

a+b-ca=z，依据已知条件及③可得

0

借助线性规划知识并结合图形（限于篇幅，图形省略）可得z>1.

3.2 题2解答

解：由f（x）≥f′（x）恒成立可得a>0，b2≤4ac-4a2，所以

b2a2+2c2≤4ac-4a2a2+2c2④

b2a2+2c2≤4·ca-41+2ca2.

令t=ca，则

y=4t-41+2t2∈-6-2，6-2.

⑤

故b2a2+2c2的最大值为6-2.

注：上述题1源自湖南省长沙市2017届高三年级统一模拟考试理科数学第12题，题1解法一是金考卷提供的，解法二是文[1]提供的;题2及解答都是 文[1] 提供的.其中，文[1]采取赋值（特值）法发现题1提供的四个选择支均不正确，从而说明题1是一道错题.

4 提出问题

文[1]在文末提出以下三个问题：

（1）题1解法一的问题出在哪？

（2）题2的解法正不正确？

（3）这种多变元的问题能不能采用不等关系代入放缩，然后化归成一元变量解题？如果可以，什么情况下可以使用？

5 肤浅思考

上述三个问题正是文[1]的核心，同时也真真切切戳中一线师生的痛处！

5.1 题1解法一明显错误

必须明确指出上述题1解法一是错误的.解法一之所以出现错误，根源在于解法一实施了放缩（即上述①）.对于求取值范围的问题，慎用放缩法，尤其没有取到等号的放缩更要特别慎重.因为每一次这样的放缩就相当于实施了一次不等价的变形，容易导致范围放大或缩小.如果连续进行多次这样的放缩，出现错误的概率更大.

5.2 题1解法二完全正确

上述题1解法二通过换元，将问题等价转化为熟悉的线性规划问题，借助线性规划知识以及数形结合求出取值范围，其过程清晰，解法严谨，这是目前高中最实惠、最有效、最严谨的构思与解答，因此解法2无疑是正确的.

5.3 题2解答基本正确

尽管上述题2解法过程中也实施了放缩，但其解法基本正确（详见后面的论述）.

5.4 题1与题2形同质异

从表面上看，题1与题2相似，正如文[1]指出：“题2的解法与题1解法一如出一辙”.其实，它们的本质是不同的，原因如下：

其一，题2是一道涉及最值（最大值）的填空题.对于最值问题，在解题教学过程中，我们可以甚至鼓励学生进行适当的放缩.事实上，绝大多数最值问题都需要适度放缩.正是借助恰当、适度的放缩，达到化困难为容易、变繁杂为简单、露隐藏为显性、转陌生为熟悉的效果，从而为解决问题奠定基础.只要能够求出最值，并且保证满足取到最值时等号成立的条件即可.比如，我们常常借助最为熟悉的基本不等式a+b2≥ab（a>0，b>0）处理最值问题，其本质就是放缩法，只是我们必须保证等号成立的条件“当且仅当a=b成立”，否则就取不到最值.之所以说文[1]提供的题2解答基本正确，是因为严格说来，还需要进一步说明取得最大值时等号成立的条件，也就是最后还必须指出取得最大值时的实数a，b，c满足的条件（准确值，或关系式）.即要同时满足上述④式与⑤式等号成立的条件，显然，上述④式中等号成立的条件为

b2=4ac-4a2.⑥

以下再回头审视并详细展示上述⑤式由来：求导可得

y′=-8t-2-62t-2+62（1+2t2）2.

据此可知在

-∞，2-62，

2+62，+∞

上，函数单调递减;在

2-62，2+62

上，函数单调递增，且当 t→ -∞时，y→0-;当t→+∞时，y→0+，因此当t=2+62时，y max =6-2.也就是说上述⑤中取得最大值时的等号成立的条件为

t=2+62=ca.⑦

综合上述⑥与⑦可得，上述题2取得最大值时等号成立的条件为

b2=4ac-4a2，

ca=2+62

a=2m，

b=2424m，（m>0）

c=（2+6）m.

⑧

当然，对于上述⑤，除了导数法之外，还可以采取换元法，即设n=t-1，则有

y=4n2n2+4n+3.

然后分n>0，n=0，n<0三种情况并结合基本不等式求出其最大值并获得等号成立的条件.

其二，题1是一道涉及取值范围的选择题.所谓求取值范围就是基于一定条件下的可能取到的值的最大范围，否则就不是最终的正确答案.这就要求每一步变形都必须是等价的，否则就可能出现范围放大或缩小.而题1中的解法一是按照①式进行放缩，此时的放缩没有取到等号，显然是不等价变形，仅仅表明左边恒大于右边，说明①左边与右边的范围发生了根本性改变，当然左边与右边的范围已经不一样（注：不排除个别试题，实施不等价变形，最后左边与右边范围一样，这纯属巧合罢了）.也就是说，即使严格规范地求出了右边的取值范围，也不能代表左边的范围.而题2中的解法二，则是按照④式实施放缩，此时的放缩取到了等号，即确保等号成立，并且在后续推理中自始至终保证了等号成立时条件具有一致性，也就是上述⑧式，说明此处的放缩并没有影响最后的最大值，因此题2的解法所得的最后的结果是正确的.

其三，倘若是证明题，那么我们可以实施合乎逻辑的放缩，甚至多次放缩，只要保证能够证明到最后的结论即可.如果我们将题1改为证明题（不妨称为题3），即

题3：对于满足01.

作为证明题，我们可以直接用上述解法二作为题3的证明过程，还可以得到以下更为简捷的证明过程：

证明：依据题意，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，即Δ=b2-4ac>0恒成立，即c0，b>0，则c≤0，于是

a+b-ca≥a+b-0a=a+ba>aa=1.

⑨

客观地讲，上述证明过程（多次放缩）并不严密，至少已知條件“0

5.5 慎用不等关系减元

含有多元变量问题一直是高中数学的难点、热点，一般来说，我们总是尽可能想办法（比如，换元、压缩、不等关系代入，等等）减元，甚至渴望转化为一元变量（比如上述题2）.因为变量越少越容易掌控，但是在减元过程中必须保证等价性，否则极易出现意想不到的错误，其中最为典型的错误就是范围放大或者缩小，这也正是题1解法一出现错误的根本原因所在.其实，上述①式，从左往右看属于放缩法中的缩小，于是导致范围在不知不觉中被缩小.事实上，并非多元变量问题都可以转化为一元变量，有些多元问题，在保证等价变形的前提下很难转化为一元变量，此时如果强行转化（尤其用不等关系代入放缩）为一元变量就会出现瑕疵乃至错误，上述题1解法一就是如此.

6 善待错误

6.1 积极面对错误

人们常说学生学习数学是一个与错误相伴的过程.其实，我们教师自身何尝不是如此呢？面对错误，既没有必要大惊小怪，也没有必要遮遮掩掩.正如数学家华罗庚生感叹“天下没有数学家没算错过题的.错误是难免要发生的……但既然出现了错误，就应该引以为教训.”“科学是来不得半点虚假的.”事实上，我们在概念教学之中、解题之中、命制试题之中不时出现瑕疵乃至错误，甚至多次出现同一类错误在所难免，我们应该将这些错误归类、深思，从中吸取教训，寻找根源，避免重蹈覆辙，这正是拙文[2][3][4][5][6][7][8]的由来.

6.2 多方化解困惑

笔者在教学过程中经常遇到困惑，首先与学生一起商榷，引发学生思考，人多力量大，力争将面临的困惑在教室里、在课堂上化解;一旦问题依然无法解决，赶紧求助身边同事，在备课组、教研组中展开激烈争辩，力争短时间内解决;遇到棘手问题，积极寻求专家解答，点对点直接咨询，立竿见影.笔者就曾多次请教著名的数学特级教师任勇先生、福建师范大学柯跃海先生、东北师范大学郭民先生、教育部考试中心任子朝先生，等等.反复遇到同类或相似疑难杂症，整理成文投稿杂志，在更大的平台上请教全国名家大师，这正是拙文[9][10][11][12][13]的由来.

6.3 错误是宝贵资源

罗增儒指出：“解题出现错误是难免的，教师对待学生解题过程中出现的错误应持积极的态度，不要一味地把错误看成达到正确目标的拦路虎.其实，错误是越过障碍、达到目标的必经阶段，错误是接受洗礼、走向成熟的必要磨炼.没有谁在真正的问题面前不是摸索前进、从不走弯路的.”黑格尔说过：“错误本身乃是达到真理的一个必然环节.”波普尔认为：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素.”错误是走向正确的先导，错误是通向成功的阶梯.我们把概念教学中（比如拙文[14][15]）、解题过程中（比如拙文[16][17]）、命题过程中（比如拙文[18][19]）出现的瑕疵乃至错误看作一种鲜活的、难得的、宝贵的资源，深刻反省造成错误的根本原因，透过现象，厘清本质，夯实功底，提升素养，优化思维，努力提高自身教育教学水平.

需要特别说明的是，因笔者功力浅薄，深知本文未能完全解开文[1]提出的问题，甚至本文自身观点也存在错误，权当抛砖引玉，期盼名家大师指点迷津，万分感谢！同时，笔者在探究过程中也遇到新的困惑，在此请教：

上述②对吗？如果不对，是不是应该改为以下⑩式？

a+b-ca>1.⑩

如果用⑩式替换题1解法一中的②式，那么题1的取值范围就是（1，+∞），能否据此说明上述题1解法一正确？

参考文献

[1]

时英雄.一道模考题的解题困惑[J].数学通讯（下半月），2018（10）：32.

[2]王淼生.预防解题中不规范与错误的策略[J].数学教育研究，2014（3）：64—66;封面.

[3]王淼生.三角函数问题常见的典型错误及应对策略[J].中国数学教育，2014（12）：48—52.

[4]王淼生.立体几何问题常见的典型错误及应对策略[J].求学（教学教研版），2018（8）：68—74.

[5]王淼生，李寅童.线性规划问题的常见典型错误及应对策略[J].中学数学研究（江西），2018（3）：9—13.

[6]王淼生，吴卫军.四种解法中到底谁对谁错——以一道中考试题为例[J].中学数学杂志（初中版），2017（8）：48—50.

[7]王淼生.让人心惊胆战的三角错题[J].数学通讯（上半月）2018（12）.

[8]王淼生.概念教学不妨尝试“事后补救”[J].中小学数学（高中版），2015（12）：40—43.

[9]王淼生.数学问题219：求定点到定椭圆上的点的距离的最小值的疑惑[J].数学通讯（下半月），2012（9）：30.

[10]王淼生.数学问题222：学生在作业中两种解法的是非曲直[J].数学通讯（上半月），2013（1）：35.

[11]王淼生.数学问题226：一道让人纠结的三角作业题[J].数学通讯（下半月），2013（7）：34.

[12]王淼生.数学问题231：这个看似简单的概率题目，答案到底是多少？[J].数学通讯（下半月），2014（1）：34.

[13]王淼生.这道质检试题到底哪一种解法合理？[J].数学通讯（上半月），2018（10）：29—31.

[14]王淼生.对人教A版高中数学课标教材第26处修改建议[J].数学通讯（上半月），2017（10）：41—44.

[15]王淼生.理性思维 严谨论证——以“2018年福建省中考第10題”为例[J].中学数学教学参考（中旬），2018（10），67—70.

[16]王淼生，黄昌毅.对《抛物线一个性质》一文的质疑[J].中学数学研究（江西），2013（4）：44—45.

[17]王淼生.再谈《一道世界数学团体锦标赛试题的另解与随想》[J].数学教学，2018（3）：48—49;封面.

[18]王淼生.从涉及分布列概念的两道试题说起[J].数学通讯（上半月），2016（Z4）：47—49.

[19]王淼生.这道试题到底错在哪儿？[J].中学数学杂志（高中版），2017（3）：58—61.