小议高中数学求轨迹方程的常用技法

纪建侠

动点轨迹（或曲线）方程的求法解析几何的重要内容之一，同时又是高考的常考点。因此在求方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能迅速的解决问题。下面总结几种常见的求法。

1.直接法

求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。原则是求谁设谁，即设动点坐标为（x，y），根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，则可通过“建系，设点，列式，化简，检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法。

例1.已知线段AB=6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程。

解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则A（-3，0）B（3，0），设点M的坐标为（x，y），则直线AM的斜率 ，直线BM的斜率 由已知有。 化简，整理得点M的轨迹方程为

2.定义法

充分掌握各种特殊曲线的定义，通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种曲线，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2.若 为 的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则 的重心轨迹方程是_______________。

解：设 的重心为G（x，y），则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得

，而点 为定点，所以点G的轨迹为以B，C为焦点的椭圆。所以由2a=20，c=8可得

故 的重心轨迹方程是

3.待定系数法

若已知曲线（动点的轨迹）的类型，求曲线（动点的轨迹）的方程时，可用待定系数法求解。

例3.已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且 ，求椭圆的方程。

解：当焦点在x轴上时，设其方程为

则

所以，椭圆方程为

当焦点在y轴上时，设其方程为

则 ，所以方程为

4.相关点法（又称为坐标转换法）

转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的，即点随点动型。

当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：

①某个动点P在已知方程的曲线上移动； ②另一个动点M随P的变化而变化；③在变化过程中P和M满足一定的规律。

例4.已知P是以F1，F2为焦点的双曲线 上的动点，求 的重心G的轨迹方程。

解：设重心G（x，y），点P（x0，y0），因为

则有 ，故 代入 得所求轨迹方程

5.参数法

有时求动点满足的几何条件不易寻找，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等）的制约，即动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法

例5.过点 作直线 交双曲线 于A、B两点，已知 。求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

解：当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，代入方程 ，

得

因为直线 与双曲线有两个交点，所以 ，设 ，则

①

设P（x，y），由 得

∴ 所以 ，代入 可得 ，化簡得 即 ②

当直线 的斜率不存在时，易求得 满足方程②，故所求轨迹方程为 ，其轨迹为双曲线。（也可考虑用点差法求解曲线方程）