导数抽象函数的相关解法初探

卜雪雁

在导数的学习时，我们经常遇到一些导数与抽象函数的问题，学生往往对这类题目束手无策，下面我通过几个相关题目的分析解答，归纳一些这类题目的解。

1.已知函数f（x）的定义域为R，f（12）=−12，对任意的x∈R满足f′（x）>4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α>0的解集为（）

A. （π/6，5π/6） B. （π/3，2π/3）

C. （4π/3，5π/3） D. （7π/6，11π/6）

考点：利用导数研究函数的单调性

分析：

令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（1/2）=0，故不等式f（sinα）+cos2α>0的解集为g（sinα）>0的解集.

解答：令g（x）=f（x）+1−2x2，则g′（x）=f′（x）−4x>0，

故g（x）在R上单调递增，

又g（1/2）=f（1/2）+1−2×1/4=−1/2+1−1/2=0，

∴g（x）>0的解集为x>1/2，

∵cos2α=1−2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α>0等价于f（sinα）+1−2sin2α>0，

即g（sinα）>0，

∴sinα>1/2，又α∈[0，2π]，

∴π/6<α<5π/6，故选D.

2.设f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，对任意的x∈R，有f（-x）+f（x）=2x2，且在（0，+∞）上，f'（x）>2x，若f（2-a）-f（a）≥4-4a（a>0），则实数a的取值范围为

A.[1，3） B.（0，1） C.（0，1] D.[1，+∞）

考点：

利用导数研究方程根的问题；利用导数研究函数的极值与最值；利用导数研究函数的单调性；

分析：

本题考查构造函数的方法、导数的应用、函数奇偶性的判断等基础知识，考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及化归与转化思想.求解时，构造函数g（x）=f（x）-x2是解题的关键.

∵对任意的x∈R，有f（-x）+f（x）=2x2，令g（x）=f（x）-x2，則g（-x）=f（-x）-（-x）2，g（x）+g（-x）=0，∴g（x）为奇函数.又g'（x）=f '（x）-2x>0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，而由奇函数的性质得g（x）在R上单调递增.∵f（2-a）-f（a）≥4-4a（a>0），且（2-a）2-a2=4-4a，∴f（2-a）-（2-a）2≥f（a）-a2（a>0），即g（2-a）≥g（a）（a>0），∴2-a≥a且a>0，解得0

3.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）+f（x）=lnx/x，且f（e）=1/e，其中e为自然对数的底数，则不等式f（x）+e>x+1/e的解集是

A. （0，e） B. （0，1/e） C. （1/e，e） D. （e，+∞）

考点：利用导数研究函数的单调性

分析：根据题意，令g（x）=xf（x），求出其导数g′（x）=xf′（x）+f（x）=lnx/x，求出其积分可得g（x）=1/2（lnx）2+C，又由f（e）的值计算可得g（e）=1，由此可得C的值，即可得f（x）的解析式，令h（x）=f（x）-x，对其求导分析可得函数h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上递减，将不等式f（x）+e>x+1/e转化为h（x）>h（e），结合h（x）的单调性分析可得答案.

解答：

根据题意，设函数g（x）=xf（x），其导数g′（x）=xf′（x）+f（x）=lnx/x，

则g（x）=1/2（lnx）2+C，

又由f（e）=1/e，则g（e）=ef（e）=1，

则g（e）=1/2（lne）2+C=1，解可得C=1/2，

则g（x）=xf（x）=1/2（lnx）2+1/2，则f（x）=1/2x（lnx）2+1/2x

令h（x）=f（x）−x，其导数h′（x）=f′（x）−1=−（lnx+1）22x2<0，

故函数h（x）=f（x）−x在（0，+∞）上递减，

f（x）+e>x+1/e f（x）−x>1/e−e f（x）−x>f（e）−e h（x）>h（e），

又由函数h（x）=f（x）−x在（0，+∞）上递减，

则有0

希望通过这几个题目的分析解答，大家可以对这类与导数相关的抽象函数的解题方法有一定的帮助。