在概念教学中如何体现数学的“自然之美”

杨旭

李邦河院士说过：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也。”这句话足以看出数学概念在整个数学体系中的分量，回顾数学史的发展，每次数学概念上有新的突破，都会在数学领域产生重大的影响，甚至推动数学跨越式的发展。那么在平时概念教学中，教师该如何安排课程内容，让学生自然地体会到数学的美学价值呢？

1.数学概念的发展是函数认知发展的“自然需求”

“函数的概念”是学生在高中学习到的第一个重要概念，是对中学所学函数概念的继承和发展，函数概念由中学的变量说到高中的对应说其实是由函数史上一次次演变发展而来，每一次的发展变化在数学史上都有其现实意义，是对原有函数概念的进一步认知。在函数概念的教学中，应让学生充分认识到函数概念的发展不是凭空产生的，而是有其现实基础，是一个自然产生的过程。

1.1学生现有认知水平分析

事实上学生在中学阶段已经学习过函数的概念，并且了解了一些简单的初等函数，其中有一次函数，二次函数和反比例函数。但是他们对函数的理解只停留在具体化阶段，是一种感性认知，只要一提到函数，他们首先想到的是具体的函数解析式，狭隘地认为函数只有解析式一种表示形式。事实上，中学课本已经有过介绍，函数的表示方法有解析法，图像法和列表法，但是学生未能将三者通过函数的概念很好地统一起来，出现这种情況的根本原因是学生对函数概念的理解不到位，未将函数概念的认知抽象概括到一定的高度。所以说学生在高中学习函数概念之前，对函数的认知是片面的，这些片面的认知会对函数进一步深入的研究造成阻碍，因此对函数概念的深入学习是进一步学习函数的性质和函数运用的自然需求。

1.2函数概念教学的预期目标

通过函数概念教学应该让学生达到以下学习目标：①了解函数概念的继承和发展，中学的“变量对应”说发展到高中的“集合对应”说。②掌握函数的抽象符号表示y=f（x）。函数的符号化本质上就是在理解函数概念的基础上，对具体函数进行抽象概括，将函数的三种表示法即对应的三种形式进行概括统一，体现了函数概念从特殊到一般的一个自然学习过程。

2.教学中如何做到“道法自然”

2.1寻找问题的实际背景

普通高中课程标准实验教科书（人教版）必修1的主编寄语有这样一段话，数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味。函数概念这一课，书本一开始就举出了三个生活实例，体现了数学源于生活，用于生活的理念，同时也隐晦地向学生传递了“函数是描述客观世界变化规律的一种重要模型”。在介绍第一个实例时，教师可以先不告诉学生炮弹经过26秒落地和射高是845米这两个数据（事实上学生通过解析式自己可以求出），只是给出炮弹高度h关于时间t的函数解析式h=130t-5t2，然后直接提问：①炮弹最高高度是几米？②经过三十秒后炮弹高度是几米？学生根据中学所学知识可以快速回答第一个问题，炮弹最高845米。回答第二个问题时，学生把t=30代入解析式发现高度是-600米，显然与问题实际背景不符，因此发现实际问题中自变量通常是有取值范围的，该例子中自变量t的取值范围把它写成集合的形式是{t|0≤t≤26}。此时可以进一步追问，应变量是否也有取值范围呢？学生较容易回答出的取值范围，写成集合的形式是{h|0≤h≤845}。这个时候教师再向学生介绍定义域和值域的概念是水到渠成的。

2.2巧设问题，制造认知冲突

提出问题是课堂教学的一个重要环节，这个问题可以教师提出，也可以在教师引导下由学生提出，提问的目的是引起学生的思考和激发学生的探知欲，是自然引出后续学习内容的一个重要环节。爱因斯坦曾经说过：“提出问题比解决问题更加重要。”那么在课堂教学中，教师该如何设置问题呢？不同的教师，不同的问题，体现了不同的教学艺术，但笔者认为，课堂教学中一个好问题的前提是问题本身应该落在学生学习的“最近发展区”，让学生直觉感知到，答案已经非常接近或者完成新内容的学习并不是十分困难。例如在函数概念教学中，教师介绍完定义域与值域的概念后，可以在此基础上提出问题①：当时间t满足条件{t|t>26}时，你能写出炮弹高度h的满足的关系式吗？学生能够快速得出h=0。教师紧接着又提出问题②：h=0，{t|t>26}是函数吗？这次学生的第一反应是，不是函数，因为它没有变量t。教师接着提出问题③：你能画出h=0，{t|t>26}的图像吗？从图像看它是函数吗？这时候学生陷入到沉思之中。教师通过巧妙设计一连串的问题，制造了学生对函数概念的认知冲突，自然发现原有的函数概念已经不能回答诸如此类的为题了，那么接下来学生自然会想要知道，新的函数概念该如何定义呢？这时教师又提出问题④：原先中学的定义是把函数看成两个变量之间的对应，现在我们已经学过集合了，那么我们现在能不能把函数看成两个集合之间元素的一种对应呢？书本上给的三个实例是不是都可以这么看呢？学生仔细观察，一一验证，发现用三种方法表示的函数都可以看成两个集合之间元素的一种对应。最后教师再给出问题⑤：你能模仿中学的定义函数的语言，给高中函数进行定义吗？经过学生的多次归纳总结，最终较容易地得出了高中函数的概念。

3.结束语

高中数学教学内容中，类似函数概念这样的概念教学还有很多，每一次数学新概念学习，相当于在数学这幢大厦中打开了一个新房间，每一个房间都有其独特的趣味和美丽。我们教师应该教会学生如何才能更轻松自然地到达一个又一个这样绚丽多彩的新房间，并能在房间中享受到数学的神奇之美，高冷之美和简洁之美。与此同时，走在探索数学之美这条道路的过程中，还能让学生感受到数学的“自然之美”。