探索高中数学教学中对称性问题的教学手段

黄明书

摘 要：在高中数学教学中要重点教学数学中的双基知识，在完整的教学活动中要向学生传递更多渗透数学学习思想，基于数学思想对各类问题进行解答。对称性广泛存在于数学之中，它体现了数学之美。对称思想是重要的数学解题策略之一，笔者阐述和分析对称思想在高中数学解题中的应用。

关键词：高中数学;对称性;教学手段

在现阶段高中数学教学过程中存在较多基础教学知识，要求学生能掌握对应的教学层次，应用不同的数学思想对各类问题进行解答。借助不同解答方式能判定问题产生源头，设定问题解决对策，实现教学目标。高中数学解析几何中涉及到的对称问题是重要问题，要合理选取不同思想解答问题。

一、对称思想

对称是普遍的自然现象.对称表现了简单、匀称、和谐，带给人美的享受。而对称在数学中普遍存在，如数学式的对称结构、图形的对称性、思考问题的对称策略、数学的对称美等。20世纪德国著名数学家赫尔曼·外尔说：“对称是一种思想，通过它，我们毕生追求，并创造次序、美丽和完善....在数学学习中，掌握并巧妙地运用对称思想，是学生数学学习所追求的目标。在近几年的高考数学试题中，对于对称知识的考查屡见不鲜。

对称是解决问题的重要策略之一，如配对策略、类比、特殊与一般、正难则反、数学转化、主变量与参变量换位等都是常见的解决数学问题的对称策略。这不仅对学生的基础知识要求高，还要求学生有灵活的思维能力。

对称是一种优美的数学结构，它包含了许多符合人类认知规律的特征.笔者将不对称的结构转化为对称结构，能够指引学生寻找更简单、巧妙、实用、直接的解题策略。

二、高中数学中解析几何的对称内容

1、解析几何中点对称定义

在解析几何中，比如立体几何，在学习过程中要建立对应的空间直角坐标系。在坐标系中，如果将P （a， b）视为X轴线上的一点，关于Y轴的对称坐标就是P （-a， b），关于x轴线的对称坐标就是（-a， -b ）。在不考虑Z轴的平面直角坐标系中，正常情况下第一象限与第二象限对称点坐标就是（+，+）、（-，+），第三象限与第四象限对称点坐标是（-，-）、（+，-）。

2、点对称与直线的解析

在正常情况下，可以选用相应的解析式来表示对应的直线Y，实际表现为Ax+By+C=0。在解析集合中，需要选取直线Y和原点相关的对称点。结合惯性思维，要首先确定某个点的精确坐标，将其设为点P （ x，y）。此点如果是在第一象限，则关于原点的对称点要在第三象限，能将Q设定为（x，y）。加上Q在直线Y上，因此此点与直线相关的对称方程就是A （-x） +B （ -y） +C=0，将此方程式进行简化能得出Ax+By-C=O，在现阶段高中数学解析几何教学过程中点关于直线的对称应用较多。

3、点和曲线的对称关系

在高中阶段解析几何中曲线对称应用不多，大多都是在微积分对称点以及二次函数学习中应用较多。在问题解答中将曲线L1： f （ x， y）视为是一条曲线，那么能将P视为曲线上任意一点。依照对称相关原理能得出，在曲线f（x，y）=0中，P关于M （x0， y0）相应的对称点是（2x0- x， 2y0- y），基于此能得出对应方程组。

三、生活中的对称性

以布依族为例，在布依族的服饰之中，有很多好看的刺绣图案。如荷花，象征清白和爱情。荷的精神不仅是布依族精神而且是中华民族精神的有机组成部分。梅花：布依族人民热爱的花种，表示布依族人民战天斗地、傲雪绽放、不畏严寒、永不退缩的品格。“万花敢向雪中出，一树独先天下春。”“凌寒独自开”的不畏严寒、坚强不屈的品格和独步早春的精神，正是布依族勤劳勇敢、坚强刚毅之伟大精神的象征。这些图案，都在进行加工中，形成了对称性的图形。如女性腰间束的绣花腰带的手工绣花图案，就是由多个轴对称的花朵组合而成的。而布依族服饰中的格子头帕，作为布依族服饰的典型代表，在布依族的佩戴后，就会体现出一种数学的軸对称美，也体现了布依族人的智慧与心灵手巧。21世纪以前，在多数布依族族群中，无论节日还是在日常生活中，男女老少都会佩戴格子头帕。如今，在贵州黔西南册亨县的布依族，除了节日和特殊场合，只有部分中年和老年女性仍然把格子头帕作为日常穿戴的一部分，而年轻人们早已“改头换面”，以现代“工业化”服饰装扮自我。

四、对称性在数学教学中的应用

在高中数学教学中分类讨论思想是重要思想方法，目前在诸多高中问题解答过程中比如导数题、分段函数、数列绝对性、排列组合方式等，在近年来高考数学题中诸多题型要通过分类讨论方式进行解答，是对学生学习灵活性、发散性、完整性进行综合考查的重要思想，要求教师在教学过程中深入探究与实践。比如在平面直角坐标系中，矩形ABCD中，AB与BC的数值为2和1。其中AB与AD在x轴以及y轴的正半轴中，A与坐标原点有效重合。之后将矩形进行重叠，将A点坐落在线段DC中。其中折痕所在直线基本斜率是k，写出折痕所在位置的直线方程。从己知条件中能得出斜率是k，所以斜率存在。从题意中能得出，斜率k能为0，也能不为0，要对其进行分类讨论。当斜率k等于0，此阶段A和D能有效重合，此阶段折痕直线方程是y=1/2。当k≠0，矩形经过折叠之后的A点能落在CD上的点是G （a， 1），所以A和G相关的折痕所在直线能有效对应，能得出G点坐标值为（-k， 1）。从折痕所在直线以及AG交点坐标是M（-k/2， 1/2），折痕所在直线方程为y-1/2=k（x+k/2），得出k=0， y=1/2。

所以在直线方程求解过程中，要对斜率进行分析，判定斜率是否存在，截距相等或是为零的情况，分析相应的位置关系，进行讨论探究。

对称变换涉及到函数相关学习，在函数学习中，函数奇偶性是对称变化中最常见的形态。根据教学知识点不断深入教学，在高中数学教学中对称变化思想也要渗透到教学学习中，例如在抽象函数对称变换中，将排列组合基本位置进行变换，平均分组，对各类常见问题进行解答。比如直线顺着直线L1：x -2y +5=0位置穿入，碰触到直线L2：3x-2y+7=0后进行反射，求出反射光线所在位置直线方程。针对此类问题解答，要结合题意整合各个己知条件。

在解答各类与几何相关的问题时，要分析几何基本性质，这样能有效简化解题思路，促使运算过程更为简便。通过建立相应解题方程，找寻问题解答重要突破口。在高中数学教学初始阶段，教师要注重对不同学习思想进行全面渗透，引导学生通过问题本质解答问题，灵活应用高中数学解析几何中对称变换思想、分类讨论思想等，串联不同知识点，将各类知识点全面结合，促使数学学习素养与学习能力全面提升。

五、结语

综合上述，在高中数学教学中涉及的对称问题是目前高中数学教学中的重要内容，目前学生在学习过程中，要从对称定义出发，掌握更多对称相关知识。在学习活动中注重总结与反思，应用对称知识对问题进行解答时，要尝试选取不同方法对同一个问题进行解答，从而提升自身思维能力，强化综合学习技能。在学习中要整合学生学习需求，对学生学习现状进行分析，开展针对性教学探究活动。

参考文献：

[1]蔡思成.关于高中数学解题思路的探索[J].求知导刊，2015，0（21）.