基于ARIMA模型的中国人口预测

赵子铭

摘要：以我国1949—2017年人口总数为研究对象，利用时间序列方法及不同检验、最优化方法建立ARIMA模型，并用于预测2019年我国人口总数.通过AIC系数比较、白噪声检验，可以认为ARIMA（1，2，1）模型能够较好拟合我国成立至今的人口趋势.结果显示：我国人口数在1949年起不断攀升，并仍将在未来保持稳定的增速扩张;预测我国2019年及2020年的人口总数分别为140453.6048、141162.1572万人.

关键词：人口预测;ARIMA模型;纯随机序列检验

中图分类号：O212  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）09-0010-03

1 引言

人口总量指一国在某一时间点上的人口总数.利用数据探究一国人口总数的变化趋势、预测人口总量的变化对于民生政策、經济政策具有重要意义.本文选择使用中国自成立至2017年的年人口总数作为研究对象，旨在建立特定模型对我国人口增长趋势进行模型解释，并对我国未来人口数量进行合理的预测.由于人口数是存量的时间序列指标，因此尝试使用ARIMA模型对人口序列进行拟合.

ARIMA模型全称为求和自回归移动平均模型，是拟合、预测时间序列数据的重要模型之一.由于差分能够较好地提取确定性趋势，因此ARIMA模型经常被用于拟合非平稳时间序列.ARIMA（p，d，q）模型共有3个参数，其中p代表模型的AR（自回归）阶数，q代表模型的MA（移动平均）阶数，而d代表序列的差分阶数.其数学表达式如下：

其中1-iLi代表ARIMA模型中自回归项系数，1+？兹iLi代表ARIMA模型中移动平均项系数，（1-L）d代表差分阶数，其中L代表延迟算子.根据上述理论，使用中国1949—2017年人口总数序列进行ARIMA（p，d，q）模型的构建.

2 基于ARIMA模型的中国人口序列预测

由于人口数量是典型的存量指标，所以一般是二阶单整的，即在经过二次差分之后，该序列会由非平稳序列转换为平稳序列.因此引入ARIMA模型，初定差分的阶数为二阶.[1]

构建ARIMA模型是一个比较繁琐的过程，建模步骤可以分为以下几步：

通过ADF检验判断该序列的单整阶数d;

确定序列的准确差分阶数d后，通过Q统计量检验判断差分序列是否是纯随机序列.

（1）如果该序列通过Q统计量检验，则意味着该序列是纯随机序列，每一期的值是完全独立不相关的，则不存在继续建模和预测的意义;

（2）如果该序列不是纯随机序列，则我们可以继续ARIMA模型的构建;

若差分后序列不是纯随机序列，则判断差分后的序列自相关系数是否拖尾或在q阶截尾.

（1）如果该序列在q阶截尾，则可以确定其ARIMA模型中MA（也即移动平均项）的阶数为q;

（2）若其拖尾，则阶数为0;

观察其偏自相关系数是否拖尾或存在p阶截尾.

（1）如果该序列在p阶截尾，则可以确定ARIMA模型中AR（也即自回归项）的阶数为p;

（2）若其拖尾，则阶数为0;

通过上述分析得出ARIMA模型的三个系数：p，d，q，并以此为依据建立ARIMA（p，d，q）模型;

对模型进行AIC系数比较、纯随机序列检验及显著性检验，判断模型对原序列的拟合是否良好;

利用模型对我国人口进行预测.[2]

2.1 确定单整阶数

本文使用Eviews软件对人口时间序列进行ADF检验及后续建模、检验.这里使用ADF检验判断人口序列的单整阶数.ADF检验的3个模型如下：

ΔXt=δXt-1+∑βiΔXt-i+εt（None）

ΔXt=α+δXt-1+∑βiΔXt-i+εt（Intercept）

ΔXt=α+βt+δXt-1+∑βiΔXt-i+εt（Trend and Intercept）

其中∑βiΔXt-i代表高阶项，α代表常数项随机性趋势，时间项t代表确定性趋势.在实际检验中，只要时间序列在上述3种模型中的任意一种中检验被认为不存在单位根，则可证明序列是平稳过程.由于时间序列平稳的性质各不相同，故ADF检验和DF检验的原假设均为：H0：时间序列存在单位根.

先前讨论指出，人口序列为典型的存量序列，故应为2阶单证序列.实验证明：在0阶、1阶差分下，人口序列均不能通过ADF检验，即至少含有1个单位根.因此对其进行2阶差分，并再次进行ADF检验.结果如下表所示：

从ADF检验的伴随概率可以看出，在二阶差分情况下，人口序列可以被认为是平稳序列，即ARIMA模型中的差分项d=2.

2.2 纯随机序列检验

利用Q统计量检验对人口二阶差分序列进行纯随机序列的检验.Q统计量检验也即序列自相关检验，自相关检验的原理是通过检验时间序列及其k阶滞后序列的相关程度，判断时间序列的历史数据是否存在某种相关联系.随机时间序列的自相关函数为：[4]

其中：γk=cov（Xt，Xt+k），γ0=cov（Xt，Xt）.分子代表滞后k期的时间序列协方差，分母代表时间序列的方差.如果ρk=0对任意k>0都成立，那么可以认为时间序列不存在自相关性.（此为原假设）.通过构造QLB统计量对时间序列自相关性进行检验，具体统计量的建立如下：

rk为样本自相关函数.统计量近似服从自由度为m的χ2分布（其中m为滞后期数）.若Q值大于显著性水平的临界值，则拒绝所有rk同时为零的假设，即时间序列具有自相关性.

对二阶差分后的人口序列进行上述检验，结果如下图所示：

由于任意滞后阶数下，人口二阶差分序列Q统计量检验的伴随概率均显著为0，因此拒绝其是纯随机序列的假设，可以认为该序列不是纯随机序列，后续ARIMA模型建模具有了理论支撑及现实意义.

2.3 判断序列p、q阶数

通过观察二阶差分序列的自相关系数、偏相关系数的截尾性选择合适的ARMA模型p、q阶数.利用Python生成二阶差分后的人口序列进行自相关系数、偏自相关系数的可视化图，如下所示：[5]

從图中可以看出，该序列的自相关系数和偏自相关系数均在1阶滞后后迅速降至0附近，因此可以认为该模型的p、q值均为1，也即：该序列的AR项滞后系数为1，MA项滞后系数也为1.

2.4 构建人口序列ARIMA（1，2，1）模型

通过上述4节分析，可以确定人口序列模型的自回归项、差分项、移动平均项的项数分别为：1，2，1.据此，通过Eviews建立人口序列的ARIMA（1，2，1）模型.

注意到人口序列的ARIMA（1，2，1）模型等价于二阶差分后的人口序列的ARMA（1，1）模型，所以可以直接对二阶差分后的人口序列进行ARMA模型的构建.构建出的模型结果如下：

结果显示，使用极大似然估计拟合ARMA模型的参数结果中：

C、AR（1）、MA（1）的t值均小于0.05，通过了显著性检验;残差序列在经过短暂的震荡后进入二倍标准差范围中，显示出良好的拟合效果;

模型的AIC函数为14.9475;

模型的最终形式为：

X=-4.4849+0.5084X+ε-0.61960ε

2.5 基于ARIMA（1，2，1）模型的人口预测

根据上节构建的模型对我国2018年—2020年人口总数进行预测，预测结果如下：

图中三角标志表示人口数的原始值，×号代表模型计算得出的预测值.结果认为：模型预测值与原始值相近，模型拟合效果良好;模型对于2018年、2019年及2020年的人口总数预测为：（单位：万人）139735.5451、140453.6048、141162.1572万人.

3 结论

本文通过建立ARIMA（1，2，1）模型对我国1949 —2017年人口总数进行了拟合、预测.ARIMA（1，2，1）模型通过了系数、模型显著性检验，且残差项均处于2倍标准差内，对我国人口总数序列的拟合程度较好.预测认为我国2019年及2020年的人口总数分别为140453.6048、141162.1572万人.

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参考文献：

〔1〕陈艳玫，刘子锋，李贤德，黄奕祥.2015—2050年中国人口老龄化趋势与老年人口预测[J].中国社会医学杂志，2018，35（05）：480-483.

〔2〕赵华，薛红艳.基于ARIMA模型的河北省人口预测[J].时代金融，2013（24）：125-126.

〔3〕唐宇，余娇娇.重庆市人口预测与发展趋势分析[J].现代商贸工业，2019，40（23）：4-8.

〔4〕陈艳玫，刘子锋，李贤德，黄奕祥.2015—2050年中国人口老龄化趋势与老年人口预测[J].中国社会医学杂志，2018，35（05）：480-483.

〔5〕韩绍庭，周雨欣.多元线性回归与ARIMA在中国人口预测中的比较研究[J].中国管理信息化，2014，17（22）：100-103.