体积概念教学要把握度量本质

贾瑜

摘要：体积概念的度量本质包括“有限可加性”“运动不变性”和“正则性”。从对苏教版和人教版小学数学教材相关内容的分析中可以发现，体积概念的教学应该紧紧把握这三条性质，突出度量本质。

关键词：体积概念度量本质有限可加性运动不变性正则性

张奠宙教授指出：“长度、面积和体积都是几何度量领域的概念。这三者除了图形的维度不同，作为一种测量过程，其本质是一样的。”那么，度量（测量）的本质是什么？现代科学理论认为，度量是武斷而又系统地将数字排列、分配、定名——基于这一观点，人们才对社会科学中度量的困难和局限感到释然，并逐渐使社会科学像自然科学那样“数学化”，成为现代认识中所谓的“成熟的科学”。

张教授引用现代数学中的测度理论，给出了面积的定义：

设∑是一些封闭平面图形组成的集合。m是定义在∑上取值于非负数的一个映射：m（A），A∈∑。它满足以下条件：

1.（有限可加性）若A、B∈∑，A与B不相交，那么m（A∪B）=m（A）+m（B）。

2.（运动不变性）如果图形A∈∑，经过平移、旋转、反射的运动成为图形A′∈∑，那么m（A）=m（A′）。

3.（正则性）边长为1的正方形I∈∑，且m（I）=1。

我们将映射m称为图形的面积。

由此可见，面积本质上是对不同的平面图形分别指定一个数（0或正数），即赋值;而且指定的方法必须满足“有限可加性”“运动不变性”和“正则性”三个条件，这三条也可以看作“面积公理”。

其实，面积定义的基本思想也适用于长度、体积概念。本文尝试基于这一基本思想，结合苏教版和人教版小学数学教材的相关内容，探讨如何在体积概念的教学中突出度量本质。

体积概念的教学，苏教版教材安排在六年级上册第一单元《长方体和正方体》中，人教版教材安排在五年级下册第三单元《长方体和正方体》中。两个版本的教材都是紧密结合长方体和正方体这两个基本的立体图形来研究体积的。

一、关于“什么是体积”

关于“什么是体积”，苏教版教材分三个层次来组织学生活动（详见图1）：第一个层次是体会物体是占有一定空间的;第二个层次是体会物体所占的空间是有大小的;第三个层次是比较哪个物体所占的空间最大。最后，揭示“物体所占空间的大小叫作物体的体积”。人教版教材也采取类似方法逐步呈现，并揭示定义（详见图2）。

“物体所占空间的大小叫作物体的体积”，这不是严格的定义，只是对“体积”的一种解释。实际上，“空间”比体积本身更难理解。仔细推敲，就会发现越说越糊涂。当然，小学阶段的任务是对有关几何图形体积的经验型知识进行数学描述，不可能也没有必要进行严格的定义。体积是对物体大小的量度，凭直觉就能理解。

二、关于体积的“有限可加性”

通俗地讲，体积的“有限可加性”就是把几何体分成若干部分，则其体积等于各部分体积的和——或者说不重叠的两个物体之并的体积等于原来两物体的体积之和。

关于体积的“有限可加性”，苏教版教材呈现了一个长方体和一个正方体，让学生感受通过观察直接比较它们体积的大小，有一定的困难，从而启发他们想到可以把它们分成同样大的小正方体，再进行比较（详见下页图3）。如果学生有困难，可以引导他们回忆在认识面积单位时，是怎样比较两个图形面积的大小的，把平面图形的学习经验迁移过来;然后提示他们如果把两个物体都分成同样大小的正方体，能不能比较它们的大小，使学生明确解决问题的方法。在此基础上，可以通过在长方体和正方体的物体上画一画，或利用多媒体演示，引导学生数一数、比一比，发现长方体的体积是9个同样大小的正方体体积之和，正方体的体积是8个同样大小的正方体体积之和，所以长方体的体积大。

图3

建立1立方厘米的概念后，苏教版教材呈现了两个由棱长1厘米的正方体摆成的长方体，让学生说出它们的体积各是多少立方厘米（详见图4）。学生可以看图形数一数;也可以照样子用1立方厘米的正方体摆一摆，再数一数。通过交流，学生能够认识到：一个物体中含有多少个1立方厘米，这个物体的体积就是多少立方厘米。“几立方厘米”就是几个1立方厘米累加的结果，这充分体现了体积具有有限可加性。

图4

苏教版教材在练习中，也渗透了体积的有限可加性，让学生在用小正方体摆大正方体、长方体及其他形状物体的操作中，理解摆成的物体的体积是由摆这个物体所用的小正方体的个数决定的：用的小正方体个数多，物体的体积就大;用的小正方体的个数相等，物体的体积也相等。

而关于体积的“有限可加性”，人教版教材也有类似的设计。

三、关于体积的“运动不变性”

体积的“运动不变性”是指物体运动或变形（即部分运动）后体积不变。

苏教版教材在练习中，渗透了体积的运动不变性（详见图5）。把同样的盒装饼干摆成3堆，因为都是由8盒饼干堆成，所以它们所占的空间大小相等，体积也就相等。由此，学生可以体会体积指的是物体所占空间的大小，与物体的形状无关。

图5

而人教版教材在练习中，对此也有所体现（详见图6）。由于小正方体的个数不变，无论摆成哪种几何体，体积都不变。

图6

此外，测量体积或估计体积的过程不仅包含了体积的有限可加性，而且隐含了体积的运动不变性。

苏教版教材在认识1立方分米时，先给出定义，让学生根据对1分米的已有经验，想象1立方分米的实际大小;再出示棱长1分米的正方体模型，让学生观察，以强化对1立方分米的感知（详见图7）。在此基础上，让学生说说生活中哪些物体的体积大约是1立方分米，也就是将不同物体的大小与1立方分米进行比较，从而让学生体会如果两个物体所占的空间大小相等，即使它们的位置不同，体积也是相等的。

图7

人教版教材在探究测量不规则物体的体积时，引导学生利用橡皮泥可以变形的特点，把橡皮泥捏成长方体或正方体，从而获得把不规则图形转化成规则图形，再测量、计算的策略（详见圖8）。

图8

四、关于体积的“正则性”

体积的“正则性”是指在度量物体的体积时，要用统一的体积单位来表示。通常选定一个立方体，规定这个立方体的体积为1，作为比较的标准，称其为单位立方体。因此，一个立体图形与单位立方体比较后所得的量数就是这个立体图形的体积。通常以边长为单位长（如1厘米、1分米、1米）的正方体的体积作为体积单位。因此，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。简单地说，立体图形占有空间的大小，是在两个立体图形的比较中产生的。

苏教版教材在探究长方体体积公式时，呈现了例9和例10两个例题（详见图9）。例9让学生小组合作，用若干个1立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，记录长方体的长、宽、高，小正方体的个数及长方体的体积。这样的设计，可以使学生在用1立方厘米的小正方体一个一个地摆出一排，一排一排地摆出一层，一层一层地摆出一个长方体的过程中，亲身经历用单位体积构建长方体的过程，充分感知摆出的长方体的体积（含有1立方厘米的小正方体的个数）与它的长、宽、高之间的关系。在例9的基础上，例10让学生以给出的长方体的长、宽、高为条件，探索长方体中含有多少个1立方厘米的小正方体，发现长方体体积的计算方法。学生在观察、操作、比较、交流的过程中，可以充分地体会到正因为长方体所含体积单位的数量就是长方体的体积，长方体的体积才可以通过将长、宽、高分别分割成若干个基本单位，从而将长方体分割成它们的若干（乘积数）个基本单位来计算。

图9

人教版教材在探究长方体体积公式时，也有类似的设计。

从以上研究可以看出，苏教版和人教版小学数学教材在体积概念的教学中，注重引导学生通过观察、操作、比较、分析、类比、归纳等活动，感受体积的“有限可加性”“运动不变性”和“正则性”。因此，我们在体积概念的教学中，应该紧紧把握这三条性质，突出度量本质。

参考文献：

[1] 张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.

[2] 徐章韬，席阳.理解心理测量——从数学与物理测量出发[J].教育研究与评论（中学教育教学），2017（7）.