高三数学二轮复习微专题教学探讨

张启兆 陈之领

摘要：近年来，微专题教学已经成为大家广泛认同的高三数学二轮复习的一种有效课型。以高三数学二轮复习课《求圆锥曲线的离心率范围问题》的设计为例，说明微专题教学应该注意选题的针对性，选取高考热点、难点;注意认知的基础性，梳理知识和方法;注意方法的明确性，构建解决一类问题的“路线图”;注意思维的灵活性，拓展问题类型，克服思维定式。

关键词：高三数学二轮复习 微专题教学 《求圆锥曲线的离心率范围问题》

所谓“微专题教学”，是指立足于具体的学情、考情，选择一些角度新、切入点小、针对性强的复习专题，力求解决学生复习中的真实问题，加深学生对数学知识与方法的理解，提升学生思维能力的一种教学方式。近年来，微专题教学已经成为大家广泛认同的高三数学二轮复习的一种有效课型。本文结合高三数学二轮复习课《求圆锥曲线的离心率范围问题》的设计，谈谈对微专题教学的一些实践与思考。

一、选题的针对性——选取高考热点、难点

求圆锥曲线的离心率范围问题综合性较强，灵活多变，能有效地考查学生的数学素养，是近几年高考的一个热点。这类试题往往条件隐晦，涉及面广泛，需要同时关注图形的几何特征和函数的取值范围，使得不少学生感到困难，不知从何入手。因此，选择“求圆锥曲线的离心率范围问题”为复习主题（研究对象），以帮助学生应对热点，突破难点。

二、认知的基础性——梳理知识和方法

微专题教学要帮助学生梳理本专题所涉及的知识与方法，从而让学生充分感悟不同问题之间的联系，进而形成对一类问题更为系统、全面的认识，为学生在新的情境问题的解决过程中形成结构化的能够举一反三、触类旁通的图式做好准备。

本节课中，为帮助学生梳理认知结构中已有但是相对零散的求解圆锥曲线的离心率范围问题的知识和方法，笔者出示了以下教材改编题：

这两道题目引导学生回顾求圆锥曲线离心率范围问题的关键是寻找a、b、c之间的不等关系，基本方法是从几何特征或代数特征出发寻找不等关系;同时，让学生体会数形结合思想在解决这类问题中的作用。

然后，笔者提出了以下反思性问题：

（5）可从哪些方面寻找a、b、c之间的不等关系？（预设：从题意出发，从圆锥曲线自身性质出发，从几何特征出发，从代数特征出发。）

这五个问题旨在引导学生利用数形结合思想，重新审视求圆锥曲线离心率范围问题的过程，为学生自主生成求圆锥曲线离心率范围问题的方法做准备。

三、方法的明确性——构建解决一类问题的“路线图”

微专题教学要帮助学生建立良好的解题认知结构，实现“为迁移而教”，应将重点放在构建解决本专题问题较为清晰的“路线图”以及渗透解决本专题问题的一般数学思想方法上，而不是只关注单个题目的具体解法。要防止复习的“碎片化”，避免“就题论题”，不能将专题教学异化为同类题的综合训练。

求解圆锥曲线的离心率范围问题中，很多问题的条件与椭圆或双曲线的焦点三角形（以曲线的两焦点和曲线上一点为定点的三角形，故其三边分别为两个焦半径和焦距）有关。因此，笔者选择其中的两类典型——已知两个焦半径的夹角大小、已知两个焦半径的长度关系，帮助学生梳理解题的基本思路：在焦点三角形中，利用圆锥曲线的第一定义、余弦定理以及其他已知条件等，将有关的量用a、b、c表示出来;再利用基本不等式、三角形的三边关系、焦半径的取值范围等，建立a、b、c之间的不等关系。具体设计如下：

最后，笔者出示如下一道条件与双曲线的不确定的弦有关的问题，作为课后作业，进一步拓展学生对求圆锥曲线离心率范围问题的认识，让学生体会分类讨论等数学思想的运用：

作业（2018年高考北京理科卷第14题改编）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线离心率的取值范围是_______________。

綜合上述教学设计，从另一个角度看，微专题教学比较合适的策略是“小题引路，例题精讲，变式巩固”，即结合学生实际，精心设计“问题串”，以简单问题带动知识和方法的梳理，以典型例题阐述知识和方法的应用，辅之以变式串讲，巩固提升对知识和方法的理解。同时，单个问题比较合适的教学策略是引导学生经历问题提出、分析、比较、解决、提炼的过程，帮助学生形成“基本想法”，提升思维能力。

参考文献：

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[3] 余建国.模式识别理论指导下的数学解题教学——以一道高考解析几何题为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（8）.

[4] 王弟成.高中数学“隐圆”问题的特点与解法——以一道高二学业质量调研试题为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2019（6）.