关于电学实验测量误差分析的思考

夏季云

摘要：“实验：测定电池的电动势和内阻”中的测量误差分析一直是困扰高中师生的典型难题。关于如何比较E测和E真的大小及r测和r真的大小，教师大多给出解析法、图像法、等效法等几种理解方法，但纯靠记忆的方法使多数学生时间一长就会淡忘，遇到问题仍然一筹莫展。对此，先分析测量值、理论值、真实值及三者之间的逻辑关系，再对解析法、图像法、等效法做具体阐释。

關键词：电学实验测量误差分析解析法图像法等效法

“实验：测定电池的电动势和内阻”中的测量误差分析一直是困扰高中师生的典型难题。关于如何比较E测和E真的大小及r测和r真的大小，教师大多给出解析法、图像法、等效法等几种理解方法，但纯靠记忆的方法使多数学生时间一长就会淡忘，遇到问题仍然一筹莫展。在一次教研活动中，三节这一实验的同课异构课促使笔者对此进行了深入的思考。现把一些想法说与大家分享。

一、测量值、理论值、真实值及三者之间的逻辑关系

（一）测量值

测量值可分为两类：直接测量值和间接测量值。直接测量值是对某个物理量通过仪器进行测量直接得到的结果，其误差来源于偶然误差和测量仪器精度引起的误差。间接测量值是对某个物理量先通过仪器进行测量得到数据，再通过公式（规律）进行计算得到的结果，其误差除了与偶然误差和测量仪器精度引起的误差有关以外，还与测量原理和实验设计有关。

（二）理论值

理论值也可分为两类：理论测量值和理论真实值。理论测量值不考虑测量原理和实验设计带来的系统误差，往往被认为就是被测物理量的结果，事实上仍然是存在系统误差的。理论真实值要考虑测量原理和实验设计带来的系统误差，其值等于真实值。

理论值是建立在物理学规律基础上的一种理论预期结果。在实验操作中得到的只能是测量值，而不是理论值。但在实际教学中，有些教师对测量值与理论测量值不做区分，从而造成学生学习的混乱和障碍。

（三）真实值

真实值指的是被测物理量的真正结果，它是物体性质的客观存在。从严格意义上来说，除了基本物理量以外，任何物体的其他物理量的真实值是不可知的。但是，人们可以采用可靠的分析方法，经过不同实验室、不同人员的反复测定，结合数理统计方法，得出公认的测量值，该值便可用以代表被测物理量的真实值。

（四）三个值之间的关系

测量值=真实值+偶然误差+系统误差。理论值在考虑测量原理和实验设计带来的系统误差时等于真实值。测量误差分析讨论的是理论测量值与理论值真实值之间的定量关系，与测量值无直接关联，但在用图像法分析时把按直接测量值描绘的图线作为按理论测量值描绘的图线来对待。

二、测量误差分析的常见方法及反思

（一）解析法

对电流表外接的情况进行分析：

例1如图1，设任两次测量中电压表和电流表示数分别为U1、I1和U2、I2，所测电动势和内阻分别为E测、r测，真实值为E真、r真。

不考虑电流表内阻RA时，根据闭合电路欧姆定律有：

E测=U1+I1r测，①

E测=U2+I2r测。②

由①②两式解得：r测=U2-U1I1-I2，E测=U1I2-U2I1I2-I1。

考虑电流表内阻RA时，根据闭合电路欧姆定律有：

E真=U1+I1（r真+RA），③

E真=U2+I2（r真+RA）。④

③④两式联立得：RA+r真=U2-U1I1-I2。

又r测=U2-U1I1-I2，所以r测=RA+r真。⑤

又由③④两式消r真得：

E真=U1I2-U2I1I2-I1。⑥

所以E测=E真。

这是一种常见的较为完整的做法。对此，笔者有以下几点反思：（1）高中阶段对此类比较大小关系的测量误差分析的前提是，不计偶然误差和电表自身精度带来的系统误差，但要考虑电表的内阻带来的系统误差。所以，“不计电流表（电压表）内阻讨论误差”是自相矛盾的，因而上述解题过程中不考虑电流表内阻是不对的，严格地说应是表达式中不出现电流表（电压表）内阻的理论测量值。（2）上述解题过程中，⑤式的结果没有考虑测量原理（电流表内阻）所带来的系统误差，即认为电流表有内阻，但在表达式中不具体出现。由于电压表内阻对电流表外接没有影响，可以不讨论，因而⑤式得到的结果准确地说应是不考虑系统误差的理论测量值。（3）上述解题过程中，⑥式的结果考虑测量原理（电流表内阻）所带来的系统误差，即认为电流表有内阻，在表达式中具体出现。由于电压表内阻对电流表外接没有影响，可以不讨论，因而⑥式得到的结果准确地说应是考虑系统误差的理论真实值，其值等于真实值。（4）上述E测和E真及r测和r真应都理解为理论值。

同理，对电流表内接的情况进行分析：

例2如图2，设两次测量中电压表的示数依次为U1、U2，电流表的示数依次为I1、I2。

不考虑电压表内阻RA时，电动势和内阻的关系有：

U1=E测-I1r测，①

U2=E测-I2r测。②

由①②两式解得：r测=U2-U1I1-I2，E测=I1U2-I2U1I1-I2。

考虑电压表内阻RA，即考虑测量原理（电压表内阻）所带来的系统误差时，电动势和内阻的理论值等于真实值。根据闭合电路欧姆定律有：

U1=E真-（I1+IV）r真，③

U2=E真-（I2+IV）r真。④

由③④两式解得：r真=U2-U1（I1-I2）-U2-U1RV，E真=U1I2-U2I1I2-I1RVRV+（U2-U1）I2-I1。

变换得：r测=r真RVr真+RV，E测=E真RVr真+RV。

因此内阻理论测量值等于电压表内阻与电源（电池）内阻真实值的并联总电阻;电动势理论测量值小于电动势真实值。

（二）图像法

从图像法角度分析例2，具体过程如下：

如图3所示，直线①是根据U、I的测量值作出的UI图线，由于I<I0，则U越大，I和I0之间的误差就越大。而电压表的示数U就是电源（电池）的路端电压的真实值U0，除了会有读数误差外，可以认为U=U0。经过修正后，直线②就是电源（电池）真实值反映的伏安特性曲线，由图线可以很直观地看出E<E0，r<r0。

这是一种典型的图像法做法。对此，笔者有以下几点反思：（1）在几乎所有的资料中，都把图线①视作根据测量值描绘的图像。这种理解是有问题的，最直接的理由是测量值由于存在偶然误差，由其得到的结果无法跟理论值（真实值）做出大小方面的必然判断，更谈不上一定相同或不同的结论。图线①实际上表示的是不考虑测量原理（电压表内阻）所带来的系统误差，即认为电压表有具体内阻（通过电流），但在表达式中不具体出现。由于电流表内阻对电流表内接没有影响，可以不讨论，又因为测量误差分析只讨论理论值，所以图线①是不考虑系统误差的理论测量值得到的图像，因而得到的结果准确地说应是不考虑系统误差的理论测量值。（2）图线②表示的是考虑测量原理（电压表内阻）所带来的系统误差，即认为电压表有内阻（通过电流），在表达式中具体出现。由于电流表内阻对电流表内接没有影响，可以不讨论，又因为测量误差分析只讨论理论值，所以得到的结果准确地说应是考虑系统误差的理论真实值，其值等于真实值。（3）I和I0之间的误差应是这两个理论值之间的差异。基于这种认识就不难理解图像法的结论了。

同理，可对例1进行具体分析，这里从略。

三、基于等效电源的思考

基于前面相关概念的分析与思考，我们也可从等效电源的角度来判断误差的存在。

对例1的分析如下：

我们认为电压表电压就是路端电压，因此把电流表和电源（电池）等效为一个新电源（如图4所示）。这个等效电源的内阻r为r0和RA的串联总电阻，因此理论值r实际上不等于真实值，即r=r0+RA>r0。等效电源的电动势E为电流表和电源串联后的路端电压，因此理论值E实际上等于真實值，即E=E0。

由以上分析还可以知道，要减小误差，电流表的内阻需很小。这个要求在实验室测定干电池的内阻时是很难满足的。

对例2的分析如下：

我们认为电流表电流就是通过电源（电池）的电流，因此把电压表和电源等效为一个新电源（如图5所示）。这个等效电源的内阻r为r0和RV的并联总电阻，因此理论值r实际上不等于真实值，即r=r0RVr0+RV，r0=rRVRV-r=r1-rRV，r

由以上分析还可以知道，要减小误差，电压表的内阻应适当大些。

参考文献：

[1] 丛德周，郭文杰.测电源电动势和内阻的误差分析[J].物理教学探讨，2009（1）.