HPM视角下的“椭圆及其标准方程”教学

花奎

摘要：从数学史的角度看，圆锥曲线研究的起源和发展可分成“截线定义”“从运动轨迹到解析几何”“轨迹定义与普通方程”“截线定义和轨迹定义的统一性”四个时期。“椭圆及其标准方程”的教学，重构、借鉴椭圆定义产生和椭圆方程推导的历史，设计“截线定义”—“焦点性质”—“机械作图”—“轨迹定义”—“标准方程”的流程，让学习更自然;设计相应的主问题，引导学生“再发现”“再创造”。课后反馈表明，这样的教学激发了学生的学习兴趣，培养了学生的人文情感，促进了学生对相关知识和思想的理解和掌握。

关键词：HPM椭圆定义椭圆方程教学设计

苏教版高中数学选修21第二章《圆锥曲线与方程》第二节《椭圆》第一课时的内容是“椭圆及其标准方程”。这一课时，教材直接介绍了椭圆在生活中的应用，然后就提出“怎样建立椭圆的方程”这一问题，并通过建系求方程的一般方法得到椭圆的标准方程。此前，学生在本章第一节《圆锥曲线》的学习中对椭圆的截线定义、轨迹定义（第一定义）和机械画法有了初步的感性认识，在必修2第二章《平面解析几何初步》的教学中了解了通过建系求直线方程和圆的方程的一般方法。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“在教学中，可以组织学生收集、阅读平面解析几何的形成与发展的史料，撰写小论文，论述平面解析几何发展的过程、重要结果、主要人物、关键事件及对其人类文明的贡献。”基于此，考虑到教材略去了椭圆定义产生和椭圆方程推导的历史背景和历史方法，笔者从HPM视角来设计和实施“椭圆及其标准方程”的教学，让学生了解相关知识和思想的产生、发展历程，从而激发学生的学习兴趣，培养学生的人文情感，促进学生对相关知识和思想的理解和掌握。

一、史料梳理

圆锥曲线的研究起源于古希腊，与三大几何问题中的“立方倍积”问题有关。从数学史的角度来看，圆锥曲线研究的起源、发展可分成四个时期。

（一）截线定义

早在公元前4世纪，门奈赫莫斯（Menaechmus）就用平面截圆锥面得到截线，并加以命名。他的做法是：取三个轴截面顶角分别是锐角、直角和钝角的圆锥，用垂直于母线的平面去截圆锥面，就得到三种不同的截线，分别为椭圆、抛物线、等轴双曲线的一支。这是圆锥曲线最早的发现与命名。

公元前3世纪，阿波罗尼奥斯（Appolonius）首次提出只用一个圆锥面就可以截得三种圆锥曲线的观点。他的方法是：用一个平面截一个圆锥面，仅需改变截面的位置，就可以产生三种截线（如图1所示）。

值得一提的是，阿波罗尼奥斯并不了解坐标系的概念，所以不可能通过建立坐标系的方法来求圆锥曲线的标准方程。但是，他对圆锥曲线的描述很接近现代方式，他在其著作《圆锥曲线论》中用一种与坐标系相似的方法求出了椭圆的一般方程y2=px-pdx2。可以认为，阿波罗尼奥斯时代已经有了文字叙述的圆锥曲线方程。

（二）从运动轨迹到解析几何

16世纪，圆锥曲线相关的研究集中在自然科学领域，主要有两个方面：（1）开普勒发现行星的运行轨迹是椭圆形的，而不是圆形的;（2）伽利略发现在不计阻力的情况下斜抛运动的轨迹是抛物线。由此人们发现，圆锥曲线不仅是存在于圆锥面上的“静态曲线”，而且是普遍存在于自然界中的物体运动形式。

1637年，笛卡儿创立了解析几何，采用运动的观点，将“静态曲线”看成点运动的轨迹;利用坐标法，将平面上的点和有序实数对建立一一对应关系，从而将几何曲线用代数方程表示，为研究圆锥曲线开辟了一条崭新的道路。

另外，英国数学家沃利斯在其《圆锥曲线论》一文中也明确表示圆锥曲线可以用关于x、y的二次方程表示，可以独立表示成一种平面曲线，因此可以彻底摆脱依附圆锥存在的命运。

（三）轨迹定义（第一定义）与普通方程

17世纪，法国数学家洛必达（LHopital）在其著作《圆锥曲线分析论》中将椭圆定义为平面上到两定点的距离之和是定值的动点轨迹，并且通过建立直角坐标系，采用“和差术”（引入参数）处理，简明而巧妙地得出了椭圆的普通方程y2=b2a2（a2-x2）。

（四）截线定义和轨迹定义（第一定义）的统一性

1822年，比利时数学家丹德林（G.P.Dandelin）巧妙地解释（证明）了椭圆截线定义和轨迹定义（第一定义）之间的统一性（等价性），即圆锥截线的焦点性质。他在圆锥（其实也可以用圆柱）里塞进两个相离的内切球，并使其分别与截圆锥面的平面相切，则圆锥面被平面所截得的曲线（椭圆）上的任意一点到两个球面与平面的切点的距离之和等于两个球面与圆锥面的切线（圆）之间在圆锥面上的距离——如图2所示，球O1和球O2均内切于圆锥面，分别切平面于点E、F，点A是圆锥面与平面的交线上的任意一点，则有AE+AF=AC+AB=定值。

丹德林的方法反映了圆锥曲线作为圆的中心射影的思想。因此，截线定义下的研究属于度量几何的范畴，轨迹定义下的研究则可以归结到射影几何的范畴。这给我们启示是，数学的发展就是数学思想的发展。

二、教学设计

基于椭圆定义产生和椭圆方程推导的历史背景和历史方法，我们可以拟定“椭圆及其标准方程”的教学目标：（1）从具体情境中抽象出椭圆模型，像数学家一样“再发现”“再创造”出橢圆定义和方程，体悟其中的思想，了解相关知识和思想的产生、发展历程;（2）掌握椭圆的两种定义，掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程，能用标准方程判定曲线是不是椭圆。

在具体教学中，重构、借鉴椭圆定义产生和椭圆方程推导的历史，我们可以设计“截线定义”—“焦点性质”—“机械作图”—“轨迹定义”—“标准方程”的流程，并且针对每个环节设计相应的主问题引导学生探究。

三、教学实施

（一）设置情境，引入课题

问题1生活中有很多几何体的截面形状像椭圆，如圆柱形水杯倾斜时杯中水面的形状、鸡蛋横截面的形状、油罐车纵截面的形状等。它们究竟是不是椭圆呢？

学生分组讨论，教师点评，总结出上述形状都是圆柱或圆锥被平面斜截得到的截面形状，都是椭圆。然后，教师介绍古希腊数学家发现并命名的圆锥截线，由此引入椭圆的课题，初步形成椭圆的截线定义。

（二）重构历史，生成定义

问题2（1）过球外一点，可以作出球的几条切线？切線长度又有什么关系？

（2）将一个球放在水平桌面上，球和桌子有多少个公共点？

（3）把半径与圆柱底面半径相等（都为R）的球放在圆柱里，球与圆柱之间有怎样的位置关系？

（4）如图3所示，在圆柱内斜放入一个椭圆形硬纸片，调整椭圆的倾斜角，使之恰好与圆柱面相合;再一上一下放入两个球，使之与圆柱面、椭圆形硬纸片同时相切。记两个球与椭圆形硬纸片的切点分别为F1和F2，在椭圆上任取一点P，记点P所在的圆柱母线与两个球的切点分别为A和B，则PF1+PF2与线段AB有怎样的大小关系？

前三问，直接让学生回答。最后一问，先利用实物教具（选择透明圆柱）和多媒体动画演示，再引导学生探究：先得到PF1+PF2=PA+PB，再得出PA+PB=AB（≥2R，当且仅当椭圆为圆时取等号），从而引入椭圆焦点的概念，总结椭圆焦点的性质：PF1+PF2=常数。

问题31822年，比利时数学家丹德林曾利用圆锥内的双球模型给出过上述椭圆焦点的性质。那么满足这一性质的动点的轨迹一定是椭圆吗？也就是说，我们能根据这一性质在平面上机械地作出一个椭圆吗？

教师引导学生探究：用一根长度大于F1F2的细绳，以F1、F2为焦点作一个椭圆（如图4所示），由此总结出椭圆的机械画法，然后归纳出椭圆的轨迹定义。在归纳定义的过程中，教师通过追问“定长等于F1F2怎样呢？小于F1F2呢？”，引导学生完善椭圆的轨迹定义。

（三）借鉴历史，导出方程

问题4（1）椭圆在现实生活、生产、科技中有着广泛的运用，神舟飞船运行轨迹也是椭圆。怎样才能精确地制造椭圆呢？

（2）怎样建立椭圆的方程？

（3）对于椭圆这种平面曲线，怎样建立坐标系才能使得它的方程最简单呢？为什么要这样建立坐标系呢？

通过第一问，让学生清楚“数缺形时少直觉，形少数时难入微”，需要进行定量刻画，从代数角度进行突破，即建立椭圆的方程，从而进一步体会数形结合和解析法的思想。

通过后两问，引导学生类比圆的方程的建立，分析坐标系建立曲线方程的方法，猜想分别以椭圆的两条相互垂直的对称轴为x轴和y轴建系，所得的方程没有x、y的一次项，只有x、y的二次项与常数项，形式最为简单，由此更好地理解标准方程之“标准”所在。

问题5根据两点之间的距离公式，将椭圆的轨迹定义，用代数的形式表现出来，即列出相应的方程。阅读教材，思考：如何化简方程（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a？其算理是什么？有没有更好的化简方法呢？

教师引导学生通过比较发现，“移项后两边平方”比“直接两边平方”更容易计算。然后，教师介绍洛必达采用的“和差术”的处理方法：对称地设PF1=a+m，PF2=a-m，可得a2+2am+m2=（x+c）2+y2，a2-2am+m2=（x-c）2+y2，联立这两个方程，整理得出椭圆的标准方程。接着，教师让学生通过图5理解等式a2=b2+c2的几何意义。

最后，教师让学生思考、讨论：如果椭圆的焦点在y轴上，那么椭圆的标准方程应该如何？学生得出焦点在y轴上时椭圆的标准方程。

（四）学以致用，运用方程

例1将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，试判断所得的曲线是什么曲线。

例2已知一个储油罐截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4米，其上的点到两个焦点的距离和为3米，求这个椭圆的标准方程。

对于例1，教师通过几何画板演示，引导学生直观感知椭圆和圆的动态变换关系;然后板书解题过程，给予解题示范;最后引导学生反思如何通过方程识别曲线的类型。

对于例2，学生独立完成，教师展示规范的解题过程，提炼解题方法（待定系数法）。

四、课后反馈

课后，我们对全班54名学生进行了问卷调查。结果显示：绝大部分学生能复述椭圆的定义和标准方程推导的思路及简化方法;87.2%的学生能理解由“丹德林双球”得到椭圆焦点性质的构造过程;92.3%的学生认为依据椭圆焦点性质总结椭圆的机械画法有助于理解椭圆的轨迹定义;所有学生都认为洛必达的对称设法避免了繁杂的计算;97.5%的学生对在数学教学中融入数学史持肯定态度，他们普遍反映融入数学史的数学教学更有吸引力，更容易理解、记忆，并表示会在课后进一步了解圆锥曲线的发展历史。

五、教学反思

（一）基于历史设计流程，让学习更自然

很多教师通常会用“用绳子固定两端画出椭圆”的方法引入椭圆概念，直接归纳出椭圆的第一定义。但是，学生在生活中早就有了椭圆的印象，突然让他们“用绳子固定两端画出椭圆”，然后归纳出“到两个定点距离之和为定值的点的轨迹为椭圆”，是否自然呢？学生是否想到过用这样的方式得到椭圆呢？学生对于为什么要这样画椭圆以及这样画出的椭圆与生活中的椭圆一样吗，是否会有疑惑呢？从众多课堂案例中可以看到，这种引入不符合学生学习椭圆概念时己有的认知基础，导致学生学习的参与度不是很高，不利于学生对知识的理解和掌握。

而本节课的教学流程基于历史的顺序，遵循了学生已有的认知基础（即历史相似性），更利于学生理解和掌握椭圆的定义，并为后续推导椭圆的标准方程提供了基础。本节课中引入椭圆定义的方法需要较强的空间想象能力。因此，教师选用了圆柱和两个半径相等的球，并使用实物教具和多媒体动画直观演示，从而减少了学生的学习困难。从课堂实践中可以看到，学生深度参与、充分探究，课堂氛围更好、效率更高;而且，学生对圆锥曲线相关知识的理解和掌握确实呈现出历史相似性。

（二）运用史料设计问题，引导学生“再发现”“再创造”

不少教师在教学中往往会对数学史料（如数学家传记、历史事件、数学名题等）做直接的补充介绍。这在一定程度上丰富了教学内容，增添了教学的趣味性与人文性。但是，这种“加法”主要指向教学内容，即数学史，而非教学主体，即学生。其实，教师在教学中应该深入挖掘蕴含于数学史料中的数学知识、思想与育人要素，并将其转化为能促进学生数学学习的一系列问题。这样可以既关注数学史的内容本身，更关注学生的主体地位。数学史料“问题化”，可将数学史的文化资源转变为有助于学生全面发展的育人资源，有助于数学史教育功能的充分发挥。这是数学教育育人为本的本质要求。

本节课中，教师将相关数学史料转化为多个目标明确、联系紧密、层次清晰、逻辑性强的问题（问题2～问题5）。学生依次解决问题的过程，既是积极思考、动手实践、自主探索、合作交流的数学学习过程，也是通过数学探索对数学知识和思想及其产生和发展“再发现”“再创造”的过程。

参考文献：

[1] 汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京：科学出版社，2002.

[2] 孟梦，李铁安.“问题化”：数学“史学形态”转化为“教育形态”的实践路径[J].数学教育学报，2018（3）.