中值点存在性中辅助函数的构造

李远梅

摘要：针对中值点存在性问题，对辅助函数的构造进行了一种实质性的探索，求原函數的方法使学生更易理解掌握。

关键词：中值点;辅助函数;原函数

高等数学中有许多内容涉及到中值点的存在性问题 ，这既是高等数学教学中的一个重点也是一个难点。辅助函数的构造成为解决此问题的关键，特别是在利用中值定理证明各类含导数的等式及不等式中。本文就构造辅助函数的实质——寻找原函数，进行分析、举证说明。

一、分析

首先罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理中函数满足的前两个条件：闭区间上连续，开区间内可导都一样，结论都是至少存在一个中值点使得等式成立。唯一不同是条件三越来越弱。但拉格朗日中值定理，柯西中值定理结论可以通过移项变成与罗尔定理形式一样的结论，即等式左边是含导数的函数，右边为零。只需寻找使得罗尔定理条件三成立的辅助函数。又因为结论是。所以构造的辅助函数实质就是，即结论中等式左边的式的原函数。

三、结论

通过上述例子发现构造辅助函数时，往往需要将结论经过等式变形才容易求得原函数。通常在不能直接求得原函数的情况下，需要将结论乘以或。为什么这样做的主要原因是指数函数的导数是其本身，幂函数的导数除常系数外就是降次。用求原函数的方法对解决此类含导数的中值点的存在性问题不失为一种简便，有效的方法。

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