关于一道曲线积分习题的一题多解

曾春花　杨维珍

【摘 要】本文对曲线积分的一道课后习题，从不同思路出发，得到了不同解法。通过对解法的分析，不但全面复习了曲线积分知识，也有利于开拓思路，培养学生的创造性思维。

【关键词】曲线积分；格林公式；原函数

Multiple solutions to An exercise about a curvilinear integral

ZENG Chun-hua YANG Wei-zhen

（School of Sciences，Kaili University，Kaili，Guizhou 556011，China）

【Abstract】Different solutions are obtained about an exercise after class on a curvilinear integral，Starting from different ways of thinking.Through the analysis of the solutions，Not only it is a comprehensive review of the curve integral knowledge， but Also it is conducive to the development of ideas ，and conducive to students creative thinking.

【Key words】Curvilinear integral；Green formula；Primitive function

在高等數学和数学分析教材[1-3]中，曲线积分是大学数学教学的主要内容之一，也是学生感到困惑的内容之一。如在计算是要考虑曲线积分是否与积分路径无关，积分曲线是否为封闭曲线，若用格林公式来求怎样添加辅助线等问题。这篇文章通分析对一道课后习题的不同解法，使学生熟练掌握第二型曲线积分的计算方法，同时也开拓了思路，培养了学生的创造性思维。

分析此解法是利用格林公式计算，而积分曲线不是封闭曲线，要添加辅助性使之变成封闭的积分曲线，从而能利用格林公式来求，然而在选择添加的辅助线时，要注意在此辅助线上的曲线积分是容易计算出来的。

分析此解法是直接利用公式来计算，直接利用公式来计算就是把第二类曲线积分直接转化为定积分计算。在计算过程中，首先确定积分限，再将积分曲线的参数方程代入被积函数中，最后进行替代。要注意积分限的确定，即积分上限是对应起点的参数，积分下限对于终点的参数，这积分过程可总结为“一定二代三替换”。

在遇到第二型曲线积分的计算问题时，首先考虑积分曲线是否能表示成参数形式，再直接利用公式来计算，在此计算过程中应注意积分限的确定；再考虑曲线积分是否与路径无关，若曲线积分与路径无关，如何求原函数；若积分曲线为封闭曲线，或添加辅助线使得积分曲线变为封闭曲线，而且偏导数在积分区域内连续，可以考虑格林公式，注意添加合适的辅助线，使得在辅助线的积分计算起来比较简单。

【参考文献】

[1]同济大学.高等数学：下册[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析：下册[M].第4版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]王金金.高等数学：下册[M].第1版.北京：北京邮电大学出版社，2012.endprint