积分上限函数的教学探究

蒋红敬　张振力

【摘 要】积分上限函数是微积分学中一类非常特殊的函数，它是沟通微分学和积分学的桥梁，本文主要从积分上限函数的性质及其求导应用教学进行了探究。

【关键词】积分上限函数；原函数；连续

在微积分教学中，微积分学基本定理是连接微分学和积分学的一个纽带，而微积分学基本公式——牛顿-莱布尼茨公式 ，为计算定积分提供了一个十分有效的方法，为了证明微积分学基本定理及牛顿-莱布尼茨公式，在数学分析（高等数学）教材中引进了积分上限函数，同时积分上限函数的求导也是全国硕士研究生入学考试的重要考点，由此可见积分上限函数的重要性. 但是初学者对这块内容很难理解，为了帮助学生更好的掌握积分上限函数的丰富内涵，本文对积分上限函数的性质及其求导应用教学进行了探究.

一、积分上限函数的性质教学

（一）积分上限函数的概念

定义[2]设在区间上可积，则称积分为在区间上的积分上限函数，称积分为在区间上的积分下限函数，积分上限函数和积分下限函数统称为积分变限函数.

在教学中应该让学生注意：

（1）在区间上可积，则对，积分均存在，积分值与积分变量无关，所以，取定上限，就有一个积分值与之对应，从而在上定义了一个函数.

（2）让学生弄明白与的关系.变上限函数中的自变量是上限，它又是一类特殊的定积分，为积分变量，在求定积分时，应把看成常量，积分变量在积分区间上变动，但对求导，是关于自变量求导.

（二）积分上限函数的性质

性质1在区间上，若存在（即可积），则.

性质2若可积，不一定是在区间上的原函数.

性质3 若，则是在区间上的一个原函数，即.

性质4[3]若是在上的一个原函数，则

性质4即为牛顿-莱布尼茨公式.

在教学中应该让学生注意：

（1） 性质3是对性质1和性质2的改进，由可积，只能说明连续，并不能说明其可导，由可积改进为连续，则由连续改进为可导.

（2） 性质3也称为原函数存在定理，可以看出连续函数一定存在原函数，它把可导和定积分两个看似不相干的问题联系在了一起，这是一个非常完美的定理，令数学界惊诧的定理，由此也被称为微积分学基本定理.

二、积分上限函数的求导应用

由1.2中性质3可以看出，对积分上限函数求导，其实就是把被积函数中的积分变量 用上限 代换，大部分学生能记住这个结果，但却不理解它的真正内涵，以至于对很多变上限积分求导问题还是感到无从下手.为了使学生能够掌握住积分上限函数求导问题，教师可以采用探究式教学方法讲授这部分内容，在讲解完性质3的证明后，可以给出下面习题供学生求解：

（1）；（2）；

（3）； （4）

先让学生仔细观察，可能大部分学生得到的结果是把被积函数中的变量直接替换为，这是错误的，让学生了解到这些例题（除第一个外）乍一看和性质3中积分上限函数类似，但又有不同.教师要耐心讲解变限函数求导的实质，然后借助于复合函数求导法则，对高等数学教材中的变上限函数求导公式进行扩充：

（1），此函数为积分下限函数，也是一类特殊的定积分，根据定积分的性质可以得到，所以

（2），该函数的积分上限不是而是，可以看成由以及复合而成，从而

。

（3），该函数既是积分上限函数又是积分下限函数，利用积分区间的可加性可以得到，从而

（4），首先告诉学生一定要分清该函数中与的关系，自变量是，在定积分中，为积分变量，为常量，当然也是常量，从而，所以

讲解完之后，告诉学生上述几种类型的变限积分求导公式在以后做题时可以直接应用，这时学生对微积分学基本定理应该有了更深刻的认识. 鉴于上述公式中被积函数均为抽象函数，所以得让学生做一些相应的习题，以便巩固学习结果.

关于积分上限函数的求导问题是数学分析（高等数学）教学的重要内容，在课堂上要让学生主动思考，发现问题，进而解决问题，真正理解微积分学基本定理，领会掌握积分上下限函数求导方法，只要这样，学生才能体会到微分学和积分学的完美结合，体会到数学的奥妙.

参考文献：

[1]景慧丽，屈娜等.积分上限函数的探究式教学[J].河南教育学院学报（自然科学版），2013，23（1）：54-56.

[2]同济大学应用数学系.高等数学（上）[M].第六版.北京：高等教育出版社：2007.

[3]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].第三版.北京：高等教育出版社：2001.