深度审题，合理建模

王德军

审题是数学建模过程中的一个重要环节.不少同学认为审题就是读懂题意，看清条件，不仅如此，审好题不可停留在表面，要深挖掘，抓住关键词和关键数据，捕捉其中的数学意义和数学模型.

案例1 如图1，一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=π/3，半径为R=200 m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形ABCD的商住楼，若矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ上，怎样设计能使地皮的使用率最大？

关键数据 ∠POQ=π/3，半径为R=200 m.

关键词1 “扇形OPQ”、“矩形ABCD”

挖掘 我们应充分挖掘各自的几何特征以及扇形网心角、半径基本量与矩形的长与宽之间的关系.

关键词2 “地皮的使用率”跟什么因素有关？

挖掘 1.明确问题研究的目标，要表示矩形面積，需要表示矩形的长与宽.

2.“矩形ABCD的长与宽”怎么表示？

通过将矩形的长AB或宽BC划归到不同的特定平面进行尝试，发现都无法直接解决，比较发现，Rt△OBC中，已知斜边为OC为200 m，求直角边BC，还缺一个量，设什么呢，不难想到设∠COB为x，则宽BC=Rsinx.

3.矩形的长AB不好直接表示，还有其他办法吗？

化解难点，通过思考，先考虑在Rt△OAD中求出OA，而OB=Rcosx，则矩形的长AB=Rcos x-√3/3Rsinx.

4.矩形ABCD的面积模型特点是什么？如何求其最大值？

由前面的铺垫逐步实现建模S=Rsinx（Rcosx-√3/3sinx）.选取恰当的方法来运算.既要重视模式化的审题，更要重视本质化的审题，进一步拓展思维、提升数学建模能力.

案例2 一厉严商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=π/3，半径为R=200 m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图2，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ上;方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上.请你通过计算，为房产商提供决策建议.

分析 分类讨论，按照方案一、二的要求进行讨论.

方案一：连结OC，设∠POC=x，y∈（0，π/3），设矩形ABCD的面积为y，则y=AB·BC，通过代人化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案;方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连结OE.设∠MOE=α，α∈（ 0，π/6），设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值.最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案.

解 按方案一：如图3，连结OC，设∠POC=x，x∈（0，π/3），在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx，在Rt△OAD中，DA/OA=tanπ/3，得OA=√3/3DA=√3/3Rsin x，则AB=OB-OA=R（cosx-√3/3sin x）.设矩形ABCD的面积为y，则y= AB·BC=R2（sin xcos x-√3/3sin2x）=[√3/3sin （2x+π/6）-√3/6]R2，由X∈（0，π/3）得π/6<2x+π/6<5π/6.

所以当2x+π/6=π/2，即x=π/6时，ymax=-（√3/3-√3/6）R2一√3/6R2.

按方案二：如图4作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE.

设∠MOE=α，α∈（0，π/6），在Rt△MOE中，ME=Rsinα， OM=Rcosα，

在Rt△ONH中，NH/ON=tanπ/6，得ON=√3NH=√3Rsinα，则MN=OMON=R（cos α-√3sin α），

设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME·MN=2R2 sin α（COSα-√3sin α）=R2 （sin 2α +√3cos 2α-√3）=2R2 sin（ 2α+π/3-√3R2，

由α∈（0，π/6），则π/3<2α+π/3<2π/3，所以当2α+π/3=π/2，即α=α/12时，smax=（2-√3）R2.

因为√3/6-2+√3=7√3-12>0，即ymax>Smax.

答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好.

数学模型的建构应注重审题，看清每个关键信息，通过对关键信息的挖掘来驱动思维深入，启发自己思考，化解难点，用数学的语言准确翻译出每个关键信息，再由问题驱动来建构模型，对题意的挖掘应注意有效性和思维性，甚至能起到拓展的功能，数学建模如果能坚持以对关键信息挖掘来驱动思维，我们的建模能力才能进步得更快.

案例3我们可以将摩天轮、水轮、大风车等一类问题抽象为：如图5，点P自点P0起，绕圆周按逆时针方向进行匀速运动，显然点P的运动是周期运动.

思考一 如图5，已知在以O为圆心、A为半径的网上有一点P，点P的运动特点是什么？如何刻画点P的位置？

通过思考，有必要建立直角坐标系，用坐标表示点P，或把点P看成从x轴正半轴旋转得到可以用角θ来刻画点P.两种方法的关系为{x=Acosθ，y=sinθ，从而自然想到用三角函数表示圆周上动点的坐标.

思考二 如图5在平面直角坐标系xOy中，点P从P0处逆时针方向做匀速圆周运动，角速度为ω（ rad/s），如何确定t（s）后点P的位置？

通过思考活动得到，点P在t（s）后转过的角为ωt，角度θ=ωt，所以{x=Acosωt，y=sinωt，此问题能让同学们感受到引入ω后，点P坐标可以表示为t的三角函数.

思考三 如图6，在平面直角坐标系xOy中，若圆上有一点P从P0处开始逆时针匀速圆周运动，角速度为ω（ rad/t），如何确定t（s）后点P的位置？

通过研究，点P起始位置不在x轴，需要引入初始角Φ，Φ是以Ox为始边、OP0为终边的任意角，此时θ=ωt+Φ，所以{x=Acos（ωt+Φ），y=Asin（ωt+Φ），这样就基本上掌握了用三角函数刻画匀速圆周的点P位置的方法，完成三角函数建模的过程.

案例4 如图7，半径为4 m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间.

（1）求点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系;

（2）求点P第一次到达最高点需要的时间.

解析 （1）以O为原点建立如图7所示的直角坐标系.

由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系y=Asin（ωt+Φ）+2（-π/2<Φ<π/2），

因为水轮每分钟旋转4圈，所以T=60/4

2丌

2兀= 15，ω=2π/T=2π/15

又因为水轮半径为4m，所以A=4.

所以t=θ+15k（k∈Z）.

故当k=0，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点.

在数学实际应用中建好数学模型不是终极目标，模型求解是一个重要环节，一个问题可能其变量形式有多种设法，模型结构也大相径庭，随之带来的计算难度也有差异.我们需要通过预设，观察模型结构，分析比较，才能选择适宜运算的函数模型.另外，处理好运算，我们还需关注单位的一致性，函数定义域的正确确定，计算方法的正确使用，运算结果回归实际检验等都是数学解模过程中我们不可忽视的环节.