分数延时滤波器设计与研究

徐 宇，安 涛，杨祎綪

(中国船舶重工集团公司第七二三研究所，江苏 扬州 225101)

0 引 言

分数延时滤波器是指一种可以延时分数个采样间隔的数字滤波器。在雷达对抗领域，主要用于相控阵雷达接收端和数字多波束干扰机发射端的相位延时控制。常用的分数延时设计方法有2种：第1种是通过把数字信号转变成带宽受限的连续信号，再进行精确延迟后重新采样；第2种方法是通过设计有限脉冲响应(FIR)数字滤波器使得滤波器在整个有效带宽内的幅度响应为1，并且在相位上有理想分数延时特性[1]，本文是研究的后一种方法。

1 数字波束形成原理

数字波束形成技术是通过数字技术实现波束形成，如图1所示，广泛应用于电子对抗、相控阵雷达和通信领域。为了获得高距离分辨率、低旁瓣的能力，相控阵雷达必须要拥有大的瞬时带宽。对于传统的宽带数字阵雷达，传统的波束形成方法经常会引起主瓣宽度变宽，天线波束扫描不准，这是因为传统的波束形成网络里面的延时精度不准，做不到精确补偿引起的，这就需要引入分数延时滤波器。

图1 宽带阵列数字波束形成结构

常见的宽带雷达信号是经过载波调制的脉冲，可以用数学表达式表示为：

(1)

(2)

(3)

其基带形式为：

(4)

比较式(2)和(4)，可以发现，对式(4)第2项进行数字移相、第3项进行时延补偿，就能使各阵元信号同相叠加，在预期的方向上波束形成。第k个阵元上的时延τk为：

(5)

采样周期为T时，补偿第k个阵元的时延是：

(6)

2 分数延时设计方法

一般对于输入信号x(t)进行时延D，得到输出信号：

y(t)=x(t-D)

(7)

对于采样周期为T的离散信号有：

(8)

hd(n)=sinc(n-d)

(9)

式中：hd(n)为理想响应的分数延时滤波器。

由于延时数d通常不是一个整数，hd(n)往往会是一个非因果的系统。设Hd(ejω)为期望的频率响应，有：

(10)

分数延时滤波器的目的是寻找有限长度的h(n)去逼近理想的hd(n)。这里引入频域误差函数去决定h(n)的系数：

E(ejω)=H(ejω)-Hd(ejω)

(11)

由上面的误差函数可以看出，要使得实际的频率响应越接近理想的频率响应，那么E(ejω)就得越小。通过这种方法求解的均方误差如下：

(12)

根据Parseval定理可以得到时域的表达式：

(13)

从上式可以看出要使均方误差最小，h(n)得等于hd(n)。在均方误差的准则中，理想的无限长冲击响应最有效和最简单的逼近方法是截断。因此，有限长的冲击响应滤波器可以表示为：

h(n)=hd(n)，M≤n≤M+N

(14)

即：

(15)

式中：M为冲击响应的第1个非零值的下标，为了满足因果系统，M的值需要大于0。

一般情况下设计一个低通的(0～απ)FIR滤波器，则有：

(16)

2.1 窗函数法

通常直接截断的sinc函数会产生吉布斯效应，设计出来的分数延时滤波器往往达不到期望的要求。窗函数法能够有效地改善吉布斯效应。窗函数法的实质是对时域的加权：

h(n)=w(n)*hd(n)

(17)

(18)

通常使用的窗函数有切比雪夫窗或者海明窗。此方法不但可以体现脉冲响应的中间值，还能减小峰值幅度误差。采取加窗法设计分数延时滤波器的对理想响应的逼近程度取决于窗函数频率响应的主瓣宽度和旁瓣幅度的尖峰值[2]。理想状态下窗函数主瓣窄，旁瓣幅度低，但是由于选取的窗长度固定，很难达到理想状态。一般情况下，随着窗长度L的增加，主瓣宽度会随之减小，而副瓣的幅度是由窗函数的形状决定的，与窗的长度无关。

2.2 复频响应法

窗函数法是在时域上去逼近理想分数延时滤波器，同样可以通过对频域误差函数加权去逼近。原则上只需要关注带宽内的误差，因此只需要定义低通频率的带宽，从而得到误差公式：

(19)

这里令滤波器的系数矩阵和离散傅里叶变换的因子矩阵为：

(20)

(21)

令:

C=Re{eeH}=

(22)

那么误差公式可以简化为：

E2=hTPh-2hTP1+p0

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

要使误差达到最小，即E2对h求导使其等于0，得到：

2Ph=2P1=0

(29)

求得滤波器系数矩阵为：

h=P-1P1

(30)

此方法计算滤波器系数要求积分，复杂度与线性方程的个数成3次方正比，计算的代价比上面的方法大很多。

2.3 可变延时参数的Farrow结构法

上面的2种方法都是固定延时参数，而Farrow结构可以连续不断地控制分数延时。这种方法是先计算好原型滤波器的系数，再用最小二乘曲线去拟合这个曲线。每个系数都是延时值d的Q阶多项式，d的范围是0～1，则：

(31)

那么滤波器的传播函数可以表示为：

(32)

从上式可以看出，滤波器系数可以用几个固定长度的滤波器以并行方式，通过延时d的幂指数来产生。

图2 Farrow结构滤波器实现图

由图2可知，Farrow结构由M组N阶FIR滤波器构成，其中虚线框图中具体画出了第M组N阶FIR滤波器的内部结构，其余M-1组N阶FIR滤波器的实现方式与之相同。Farrow结构所需要的滤波器阶数远大于前2种滤波器结构，运算量很大，它的优点是当时延变化时，仅改变时延参数D，就可以获得不同的分数时延，不用重新加载系数，节省了存储空间，降低了硬件实现的复杂度。

3 仿真分析

这一小节对上文中的几种方法进行了仿真分析，对不同方法设计相同的滤波器阶数和归一化频率，分析分数延时滤波器幅度频率响应和相位延时响应特性。

在仿真过程中，4种方法都选择设计阶数为16阶的分数延时滤波器，有效带宽的归一化频率为0.8π，其中Farrow结构的滤波器系数曲线通过拟合的复频响应法计算出来。图3是4种方法的幅度频率响应图，分数延时滤波器实现的是数字时延，因此其幅度响应特性在线性时延带宽中应该与全通滤波器一致，即滤波器的幅度频率响应应该为1。从图中可以看出，简单的截断不加窗函数的方法在通带和阻带在1附近有较大的波动，吉布斯现象明显，而通过添加切比雪夫窗可以明显改善吉布斯效应，在整个有效带宽内获得的幅度基本为1。复频响应法相比于切比雪夫窗函数法，有效带宽更加宽，过渡带更窄；而通过Farrow结构去拟合的方法，可以发现幅频特性基本一致。

图3 幅度频率响应图

图4是4种方法的延时响应曲线图，本文选取16阶的分数延时滤波器理论值为7.4个采样周期。从图中可以看出，不加窗直接截断的相位延时特性在有效带宽内比较差，上下浮动接近0.1个采样周期，而简单的加切比雪夫窗后，得出的相位延时在通带内只有0.02个采样周期的误差。复频响应法虽然计算特别复杂，但是得到的效果最好，基本与理想曲线一致。Farrow结构法的相位延时特性同样能够接近复频响应法的相位延时特性。

图4 群延时响应图

4 结束语

本文阐述了数字波束形成原理，并对分数延时滤波器进行了多种算法的推导和仿真，对比它们的性能。分数延时滤波器是数字波束形成技术中的核心，能够应用于同时多波束干扰机，解决以前干扰多部目标需要分时干扰和分子阵同时干扰的功率不足问题。