一个野代数的二维的不可分解表示

刘雨喆 章超

摘 要：在表示型的研究中，野代数Γ=k〈x，y〉扮演重要角色，但通常描述其表示是非常困难的。本文主要利用Belitskii算法得到代数Γ所有二维表示的同构类，等价地，得到二阶矩阵对的Belitskii标准形，并得到该线性矩阵问题的Belitskii标准形的参数数。

关键词：

箭图表示;矩阵对;Λ-稳定;野表示型

中图分类号：O154

文献标识码： A

代数表示型问题是代数表示理论中的基本问题之一。所谓表示型问题，即研究有限维k-代数的不可分解模的分类问题。域k上的有限维代数自然地分为两类：表示有限的代数和表示无限的代数。这里，表示有（无）限代数是指模范畴中具有有（无）限多个不可分解对象。对于表示无限的代数，Donovan-Freislich猜想它们可以分为更细致的两类， 即驯（tame）表示型代数和野（wild）表示型代数[1]。 粗略地说，一个代数是驯表示型代数当且仅当它的不可分解表示可以由一个连续变量来量化，而野表示型代数具有由任意多变量量化的不可分解表示。后来Drozd利用矩阵方法证明了上述双分定理[2]。更细致地说，表示野代数的定义依赖于代数Γ=k〈x，y〉的表示范畴。通常来说，完全描述野代数的表示范畴是不可能的。代数Γ本身也是表示野代数。

由Gabriel图化理论，代数Γ同构于箭图Q=（Q0，Q1）对应的箭图代数kQ，其中点集Q0={1}，箭向集Q1={α∶1→1;β∶1→1}。由文献[3]中表示理论可知，代数kQ的n维表示即为Y=（kn，A，B），其中A，B为n阶方阵。给定代数kQ的另外n维表示Y′=（kn，A′，B′），MM′当且仅当存在可逆矩阵P，使得P-1AP=A′，P-1BP=B′。

因而计算该代数表示的同构类问题，等价于解线性矩阵问题：给定矩阵对（A，B），是否存在可逆矩阵P，使P-1AP，P-1BP同时为在某一确定意义下的标准形。对任意给定的矩阵对，Belitskii约化算法却是确定其相似标准形的一个有效算法[4-6]。Jordan标准形理论表明一定存在可逆矩阵P，使得P-1AP为Jordan形矩阵。Belitskii算法的基本思想是在保持J不变的情况下，继续约化M=P-1BP时，矩阵集合只能是Λ={S∈GLn（k） SJ=JS}，其中GLn（k）表示数域上的全体可逆n阶矩阵组成的一般线性群。Belitskii标准形的参数数，粗略地说，是代数群G={S∈Λ det（S）≠0}作用在由这些矩阵M构成的代数簇上的一个量化参数，它的定义依赖于单个矩阵M在共轭作用下的G-轨道的维数与余维数[7]。本文中我们总假定k为代数闭域。本文主要计算代数Γ=k（x，y）

参考文献：

[1]DONOVAN P， FREISLICH M R.Some evidence for an extension of the Brauer￣Thrall conjecture[J].Sonderforschungsbereich Theor Math， 1973， 40：24-26.

[2]DROZD Y A.2 Tame and wild matrix problems， Representation theory II[M].Heidelberg，Berlin： Springer，1980：242-258.

[3]AUSLANDER M，REITEN I，SMAL S O.Representation Theory of Artin Algebras[C]//Cambridge Studies in Advanced Mathematics，vol 36， Cambridge： Cambridge University Press， 1995.

[4]SERGEICHUK V V.Canonical matrices for basic matrix problems[J].Linear algebra and its applications，2002，317（1/3）：53-102.

[5]BELITSKII G R.Normal form in a space of matrices[C]//Analysis in Infinite￣dimensional Space and Operator Theory， Russian ：Naukova Dumka， Kiev， 1983：3-15.

[6]BELITSKII G R.Normal form in matrix spaces[J].Integral equation operator theory， 2000， 38（3）： 251-283.

[7]劉先平， 徐运阁.基于Belitskii典范形参数数的计算[J].中国科学：数学， 2018， 48（7）： 879-892.

[8]KRAFT H， RIEDTMANN C.Geometry of representations of quivers[J].Representations of algebras， 1986， 116： 109-145.

（责任编辑：周晓南）