数学思想在高中数学教学中的渗透与应用

彭燕梅

摘 要：数学教学是教授基础知识和渗透数学思想的教学，数学思想的形成和应用对于学生理解、学习、应用基础知识具有非常重要的作用。本文对“分类讨论思想”“数形结合思想”“转化化归思想”三种数学思想的教学展开分析，从实际教学案例中探究这些思想渗透和应用的方法，旨在为一线数学教师提供些许参考意见。

关键词：数学思想；高中数学；有效渗透

在数学的教学过程中，培养学生形成良好的数学思想及其应用能力是非常有必要的。数学思想的养成，可以有效帮助学生形成良好的认知结构，促进知识的深化和转化，培养数学素养，对认识、分析和解决数学问题大有裨益。但在现实教学中，许多教师只是注重基础知识的教授和解题步骤的练习，忽视了数学思想的重要性。数学教师要充分备课，设计具有层次性的教学内容和环节，帮助学生潜移默化中学到数学思想，提高运用数学知识和思想解决实际问题的能力，提高数学的学习效率。

一、渗透分类讨论思想，培养学生形成清晰的思路

分类讨论思想是数学学习中经常会用到的一种思想，它虽然基础但却十分重要，能够帮助学生将复杂的问题分解成若干个简单的问题，将思路清晰化。对于一些情况多变的问题，可借助分类讨论思想在题目相关条件的规定中进行区域的划分，并针对所有的区域依次讨论。此外，分类讨论思想还有助于学生整理和归纳繁多的知识点，避免形成片面的思维。

例如，针对一些带有绝对值的函数，就能将复杂的函数变成几个简单的函数，转化为分段函数再分类讨论，复杂的问题就变得简单许多。在问题“作出函数f（x）=|x-3|+|x+1|的图象”中，首先要将函数中的绝对值去掉，那么就可以按照函数的零点进行分区间讨论。y=|x+1|的零点是x=-1，y=|x-3|的零点是x=3，这样学生就可以通过x -1、-1

二、渗透数形结合思想，培养学生对问题的理解能力

数学问题将实际生活中提炼出来的数学信息表示成抽象的数学关系，其抽象性使得学生理解知识和问题的难度变高，如果能够将知识和问题中的数学关系用图形表示出来，会更加直观，减小学习难度。这就需要用到数形结合思想，即把“数”和“形”结合起来思考问题并解决问题。所谓的“数”即数学问题中的数字或数量关系等，“形”指的是图形，其表现方式可以是数轴、图象等。

例如，解决解析几何的问题时，应用数形结合往往能够快速分析问题、找准变量关系。在问题“有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）。若直线l：x+ay+a=0（a为实数）与有向线段PQ延长相交，请求实數a的取值范围”中，抽象的想象会增加解题难度，那么教师在教学中就可以将题目给出的信息用图象的形式展示在黑板上。不难发现直线l恒过定点M（0，-1），且其斜率随着a的变化而变化。教师可画出不同斜率的情况，在直线的旋转过程中引导学生发现其中的特征，从而找到斜率的范围，进而解出a的取值范围。

三、渗透转化化归思想，培养学生灵活应用的能力

转化化归思想的应用较为灵活，但其解决问题的能力非常强大。它能把陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化到学生已知的知识范围内，便于学生运用熟知的知识、方法、经验解决问题。

例如，在解决复杂的函数问题“已知x，y∈R，且2x+3y>2-y+3-x，判断x+y与0的关系”时，因为不等式两边都含有x和y两个变量，是二元函数，而学生熟悉的是一元函数，因此教师可以引导学生思考如何才能将两个变量变成一个。进而得出可以构造辅助函数f（x）=2x-3-x，将二元不等式的问题转化为求函数单调性的问题的结论，将复杂的问题转化为熟悉的知识，降低难度。再如，解决立体几何问题“一个四面体所有棱长都是a，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为____”时，不难看出该四面体是一个正四面体，如果利用外接球直接构造直角三角形去求解的话，其计算量大，思维过程冗长，学生很容易出错。教师可以趁机渗透转化化归思想，即将正四面体补成一个正方体，利用棱长之间的关系，从而找到其外接球的半径，进而得到结果。这样的转化过程使得思维量和计算量都小了很多，能够培养学生灵活应用已学到的知识的能力。

总之，数学思想虽然是抽象的，但它与数学知识的学习密切相关，贯穿整个数学学习过程，是数学学习的精髓。除了上述三种思想，还要很多数学思想，如类比思想、方程与函数思想等。教师要不断总结教学经验，并与具体学情相结合，将这些思想设计在教学内容中，使学生在潜移默化中逐步获得基础的数学知识、思想、技能，从而达到培养学生灵活应用数学知识解决实际数学问题的目的。

参考文献

[1] 吕玉刚.数学思想渗透在高中数学课堂教学中的应用方法[J].数学学习与研究，2018（09）：38.

[2] 高艳红.渗透数学思想的策略与方法——以高中数学教学为例[J].内蒙古教育，2018（04）：58-59.