“数形结合”培养初中生思维能力

2019-09-10 06:31李国坚
教育·教学科研 2019年10期
关键词:菱形数形数形结合

李国坚

数形结合思想是数学基本思想之一,是学生思考和解答问题的基本方法,亦是初中数学教学的重点和难点。数形结合思想贯穿于整个初中数学教学,在教学过程中,教师要有意渗透这一思想,让学生学会以数化形、以形变数、形数互变,在应用数形结合方法解决问题的同时,感受、理解并逐步掌握和运用数形结合思想。在实际生活中,往往遇到的是具体的形象的“形”,而在数学中就是一般的抽象的“数”,让学生将数形结合起来,不僅是数学学习的必由之路,也是锻炼提高学生应用能力的必经之路。

以数化形抽象问题具体化

利用数形结合思想,以数化形,将抽象复杂的问题简单化、具体化,帮助学生轻松找到解答方法,极大地提高了教学效率。抽象性是数学学科最基本的特性之一,它使得数学语言更加简洁、准确,同时也使数学问题更加深奥,使学生感到数学异常难学。数学问题中抽象的数量关系使得学生无法准确理顺和把握,而借助数学图形就能够直观、形象地展现。如利用数轴能清晰比较出有理数的大小。在处理方程问题时,一般是将方程的根看作函数图象与x轴交点的横坐标。如此以来,学生能够画出函数图象也就确定了方程的解。这样不仅简化了问题本身,使学生解题速度得到提高,更为重要的是极大地提高了学生解题的准确率。

利用以数化形能够帮助学生快速、准确地理解抽象问题,如美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德用3个直角三角形非常巧妙地证明了勾股定理。即用3个直角三角形巧妙组成一个直角梯形,利用3个三角形的面积之和等于梯形面积,从而得出“直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方”。借助以数化形,定理的证明就非常简单,学生也容易掌握接受,达到良好的教学效果。

以形变数确定具体数量

图形能够更加直观地展示各数量之间的关系,但很多时候要求解出具体数值,则需要借助代数计算,否则就很难确定具体的数量。如下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第(1)个图形中一共有3个菱形,第(2)个图形中一共有7个菱形,第(3)个图形中一共有13个菱形,按此规律排下去,第(9)个图形中菱形的个数为多少?这个题目如果按照常规做法,一步一步把对应的菱形画出,难度很大,学生也不易理解。如果我们将图形化为数字求解,那么答案就直接算出来了:第(1)个图形中一共有3个菱形,3=12+2;第(2)个图形中一共有7个菱形,7=22+3;第(3)个图形中一共有13个菱形,13=32+4……,第(n)个图形中菱形个数为:n2+n+1,所以第(9)个图形中一共有92+9+1=91个菱形。从图形上看起来求解难的问题,利用代数计算很简单;所以,图化为数不仅解决了求值问题,更让学生挖掘出了图形中的隐含条件,理清数量之间的关系,将复杂问题简单化。

在初中数学教学中,将图形转化为数字极大地锻炼和培养了学生的抽象思维,其实,很多公式的推导都是利用这一方法。进入中学阶段,几何问题难度越来越大,需要学生有较强的数形转化能力以解决复杂的几何问题。从“形”化为“数”,是具体问题一般化了,也就是让学生掌握了正确的解题思想和解题方法,加深学生对知识的理解,提高了他们的数学素养。

形数互变培养学生数学思维

在解答实际问题,尤其是综合题目时,我们需要用到的不是单纯“以形变数”或“以数化形”,而是要它们相互转化。也就是说题目中有的数要化为形帮助学生清晰确定其数量关系,而有些形又要借助代数计算才能得到求解,要根据具体题目合理地选用“以形变数”和“以数化形”方法,并将其有效结合,形数互化,最终准确求解。如在学习平面直角坐标系及函数时,教师就要给学生留下遇到函数问题就会想起数形结合的印记,适当建立平面直角坐标系,完美地诠释数形的结合。将函数引入平面直角坐标系之后,那么就可以利用代数方法解决几何问题了。总结起来,实数、代数式、函数、不等式集中代表了初中阶段的“数”,而直线(包含数轴)、角、圆、抛物线等则集中代表了初中阶段的“形”。在教学中、学生解答问题的过程中,教师都要积极灌输数形结合的思想,通过数形结合使学生的思维更加开阔,积极探寻出数形关系,找到问题解答方法。华罗庚说:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。”数形结合思想之所以在解答问题时应用广泛,在于具有极大的灵活性与创造性,所以其不是固定的,教师交给学生的是思想方法,而学生要根据实际问题恰当灵活选择,学生多练习多使用,教师多引导,那么学生的数学思维能力就能得到相应的锻炼和提升。

结束语

数形结合思想在初中数学中应用广泛,以数化形、以形变数、形数互变能帮助学生快速准确解决复杂问题。在实际教学中,教师将数形结合思想渗透在概念的定义和讲解中,渗透于具体题目的解答之中,使其贯穿整个初中的数学学习,如遇思维困境,要及时改变思考问题、解决问题的方法,用“形”启迪“数”,以“数”界定“形”,形数互化培养学生的数学思维能力,提升学生的数学素养。

(作者单位:广东省开平市月山初级中学)

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