浅谈数形结合思想在数学解题过程中的应用

林平

摘 要：随着新课程改革的不断深入，素质教育依然是大家探讨的核心问题。数形结合思想是中学数学中重要的方法之一，其作用和意义是不言而喻的，是分析问题和解决问题不可少的灵丹妙药。因此教师要给予充分重视，深入挖掘教材的本质，在教学中落实贯彻。用数形结合解题有简单、直观等特点。本文介绍了我对数形结合思想在数学解题过程中的应用的一些思考和看法。

关键字：数形结合;解题;运用;误区

1.数形结合思想的理论基础

“数形结合”揭示了几何中的形与数的统一，为依形判“数”与就数论“形”的相互转化奠定了扎实的基础。这体现了几何与代数的辩证统一。在运用此思想解题时，一些题目较明显，而一些题目需要构造几何图形，构造是创造力的较高表现形式。在数学教学中，教师应注息引导学生依据题目特征，类比相关知识，通过数学模型来促使问题的解决，从而培养学生的独创性。数形结合是一个重要的数学思想，但同时它也是一柄双刃的解题利剑。数形结合要遵循等价性、双向性与简单性的原则。学生在应用它解数学题时，往往出一些逻辑性的错误，如：构图不准确或不具有一般性;错觉性的或片面性的疏漏;用图形解题时可能更繁琐，不优美等。本文将通过一些具体的例子来具体说明以上问题，希望引起学生的重视，以便更有效的应用这个思想帮助我们解题。

在数学学习的整个过程中，教师都在有意识的向学生灌输一些数学中的思想方法，让同学们可以更好的掌握并且运用数学知识。数学方法有很多种，无优劣之分，关键在于用的是否恰到好处，其中数形结合思想是大家比较熟悉也是在解题过程中比较常见的思想方法。本文旨在通过介绍数形结合思想的本质特征，以及他在具体解题过程中的一些应用，希望能让读者更好的了解和掌握数形结合这种思想方法。

华罗庚教授说过：“数无形时少直觉，形少数时难人微;数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。”从中我们不难看出两点：

其一，数形结合法是求解数学问题的一种重要思想方法。

其二，数与形两者之间有着非常紧密的联系，相互体现，相互依存，这也正是数形结合思想的本质特征。

那么究竟什么是数形结合思想呢？

数形结合思想，它是利用已知条件得到相应的图形，把抽象的数学语言和直观图象结合起来，直观分析，即以图形或图像之间的关系反映相应的代数关系，从而使许多复杂问题得到简便的解决的数学思想方法。“数形结合”揭示了几何中的形与数的统一，为依形判“数”与就数论“形”的相互转化奠定了扎实的基础。这体现了几何与代数的辩证统一。

2.数型结合思想的应用举例

2.1数形结合在不等式中的应用

不等式的各种题型涉及到高中数学的各个章节，综合性强，题目难度可大可小，是高考的常考题型之，要顺利地解决这类题型，就必须具各灵活的创新能力，运用化归思想、数形结合思想把其他问题转化为不等式问题。下而就数学思想在不等式中的应用作以下介绍：

著名数学家华罗庚对数形结合给出如下精辟论述：数形本是兩依依，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形相助双翼飞。在解一些有关不等式问题的过程中，可根据问题的结构特征，联想有关的几何图形，巧妙地将不等式转化为图形，从而找到较为简便的解法。

2.2数形结合在三角函数中的应用

在三角函数这一章的学习中，要非常重视数形结合思想的运用，尤其是在选择、填空题中，除了常见的求二角函数单调性、值域、最值等借助数形结合进行处理外，以下问题也可以用数形结合法解决：

例1：函数的最小正周期？

常规方法：用定义进行验证

巧解：先画出的图象然后将g（x）图象中x轴下方的部分沿x轴翻折上去，既得f（x）的图象，由图象可得最小正周期为π。

2.3数形结合在集合问题中的应用

集合问题是高中整个知识体系中一个比较基础的知识模块，在高考中，虽然所占比重不是很大，但是“集合”这个知识点的运用确是十分的广泛。在解有关题目的时候，往往会用到数形结合思想，有时也许有很多种求解方法，但是通过数与形的结合是最直观和方便的。

2.4数形结合在平面向量中的应用

“数形结合”思想是重要的数学思想方法之一，它在数学的各个分支中都有着广泛的应用。我们知道向量可以按照一定的运算率进行加、减、数乘及数量积运算，很多同学会以为向量是属于代数范畴。但我们知道以上的运算都有它的几何意义，因而向量实际上又是属于几何范畴，故可以说向量是一个数形结合的典范。我们在解题时，若能巧妙地结合向量的几何意义，可以将许多复杂问题简单化，抽象问题直观化。下面通过几例谈谈”数形结合”思想在向量中的几种应用。

3.数形结合思想的教学建议

现在的数学教育越来越重视学生的数学素质的培养，其中很重要的一点就是培养学生的创新意识。那如何创新呢？一方面，从情感态度上我们要求学生要开阔视角，勇于创新，另一方面，我们必须加强他们的数学思想意识的教育。从某种意义上讲，数学思想是数学领域创新的源泉和基础，只有让学生了解和掌握了一定了数学思想，才能让他们在数学的天空里飞得更高更远。

在此，笔者就对如何培养学生的数形结合思想提出如下几点建议：

（一）我们要让学生了解到数与形之间的内在联系以及形式上的相对统一，再让学生认识到数学的“美”的同时，加深他们对数形结合的认识。从而让他们从主观上接受数形结合思想。

（二）在对数形结合思想有初步认识的基础上，教师要引导学生利用数形结合思想解决实际问题。通过有针对性的练习，才能让学生更深刻的领悟数形结合思想的本质以及强化数形结合思想的运用。

（三）在新课标的教学大纲中，数学能力的培养是一个重点同时也是一个难点。我们一方面要让学生有解题的方法技能，同时另一方面又要让学生具备适应新问题的以及解决新问题的能力，这有需要教师在日常的教学工作中不能只拘泥与教授学生方法技能，更应该侧重与培养他们自己的探索，创新能力。让课堂中的“我教你学”变成“我引导你发现”，只有这样，我们才能在素质教育的大道上越走越远。

参考文献

[1]许建冬.“数”与“形”——浅谈数形结合思想在解题中的运用[J].人生十六七，2017（11Z）：64-64.