基于数学史的三角形内角和探究活动的设计与实施

瞿鑫婷 汪晓勤 贾彬

【摘 要】 探究性学习（inquirybased learning）是近几十年来全球科学和数学改革中的热门话题，而数学史是探究性教学的指南。文章基于数学史的三角形内角和探究活动的设计与实施，为HPM视角下的初中数学教学提供参考。

【关键词】 探究性学习；数学史；HPM；三角形内角和

一、引言

探究性学习（inquirybased learning）是近几十年来全球科学和数学改革中的一个热门话题。1991年，美国数学教师协会（NCTM）指出，探究是学生学习数学概念和知识重要的环节之一，包括探索、猜想、逻辑推理和评估[1]。2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中，使用了“探索”这一刻画数学活动水平的过程性目标动词，体现了对学生在数学思考、解决问题等方面的要求。《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“数学探究”作为初中数学课程的主要内容之一，明确指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。 学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”杜威（JDewey） 认为，探究是发现和学习的基础 [2]。研究表明，基于探究活动的数学教育能加强学生对数学的理解和思考，培养学生积极的态度和信念，提升學生的课堂参与度，同时提高创造力以及解决问题的能力[3]。

美国数学家和数学史家M克莱因曾指出，数学史是数学教学的指南[4]，据此我们可以说，数学史也是探究性教学的指南。英国学者福韦尔（JFauvel）指出，数学史为学生提供了探究的机会[5]。数学的概念、定理等都是经过漫长的历史不断演进而来的，在数学教学中借鉴有关主题的历史发展过程来设计探究活动，让学生经历知识的发生发展过程，体会数学研究的方法，积累数学活动经验，加深对数学的理解，从而践行了弗赖登塔尔（HFreudenthal）的“再创造”理论，并体现课程标准的教学要求。

近年来，HPM视角下的初中数学教学日益受到一线教师的关注，HPM专业学习共同体所开发的HPM课例受到一线教师的欢迎。许多初中一线教师希望在实践中运用数学史提高教学效果；但由于手头缺乏资料且未掌握数学史融入数学教学的具体方法，他们在具体实践中遇到了很大的困难。 为此，本文通过典型的初中HPM课例，呈现基于数学史的初中数学探究活动的设计和实施方法，为HPM视角下的初中数学教学提供参考。

二、探究式教学的过程

美国哥伦比亚大学的西格尔（MSiegel）教授在1998年就提出了数学探究式教学的四个阶段：准备与聚焦、探索与发现、综合与交流、评价与延伸[6]。该教学模式的具体活动内容如下。

① 准备与聚焦：教师通过介绍数学活动，唤起学生对定义、证明等的初步想法，并在学生已有的知识基础上挑战学生的固有观念，激发学生的学习兴趣，确定探究的主题和目标。

② 探索与发现：学生针对教师提出的开放性问题提出猜想，并进行分析、推理与试验，得到初步的结果。

③ 综合与交流：教师协助学生进行小组讨论，借由辨析、论证、研讨的过程，获得最后结果。在此过程中，学生表达自己的想法（如运用表格、图形、证明等），回应他人的意见，教师适时引导或帮助学生得出一般结论。

④ 评价与延伸：教师归纳学生的数学发现，对学生的参与、表现和学习进行评价，引导学生反思探究活动过程，学会将一般结论进行类比，并应用在其他数学情境中，对新知加以整理和拓展，激发更深层次的探究。

本文利用西格尔的四阶段框架，对基于数学史的三角形内角和定理的探究活动进行深入分析。

三、三角形内角和课例分析

1三角形内角和定理的历史

（1）三角形内角和的发现

公元前6世纪，古希腊数学家泰勒斯（Thales）通过拼图发现三角形内角和定理。泰勒斯可能已经知道等腰三角形的两底角相等，因而知道等边三角形的三个内角相等。首先，他发现将六个同样的正三角形的某一个顶点置于同一点，恰好填满该点周围区域，因而正三角形六个内角之和等于四个直角之和，三个内角之和等于两个直角之和。接着，他将六个同样的等腰三角形的不同顶点置于同一点，其中的每一个顶点出现两次，结果也恰好填满该点周围区域。最后，他用六个同样的不等边三角形来拼图，也发现同样的结论。

（2）三角形内角和定理的证明

为了证明三角形内角和定理，古希腊数学家（如毕达哥拉斯学派、欧几里得）大多是过三角形某个顶点，作对边的平行线，从而将三个内角转化为一个平角。现行教科书大多也采用这样的方法。18世纪，法国数学家克莱罗（ACClairaut） 则利用平行线将三个内角转化为一对同旁内角。

19世纪末20世纪初，西方教科书编者将古希腊的方法推广到一般情形：不在某一顶点处作某一边的平行线，而是过三角形某一条边上的任一点作另两边的平行线，甚至过三角形所在平面内任一点同时作三条边的平行线。最后一种方法多用于三角形外角和定理的证明。

（3）避免使用平行线的尝试

古希腊数学家普罗克拉斯（Proclus）试图不用平行线来证明三角形内角和定理。如图1，过三角形[WTBX]ABC的三个顶点A、B和C，分别作底边BC的垂线，则

这种方法可以推广到一般的非垂直情形。

1809年，德国数学家提波特（BFThibaut）首次利用旋转方法证明了三角形内角和定理。如图2，[WTBX]将BC所在的直线XY绕点B沿逆时针方向旋转角度β，到BA所在直线X′Y′；将X′Y′绕点A沿逆时针方向旋转角度α，到AC所在直线X″Y″。最后X″Y″绕点C沿逆时针方向旋转角度γ，到BC所在直线YX。从XY到YX[WTBZ]，总共转了180°。

2三角形内角和探究活动的设计与实施

在课例“三角形内角和”中，教师根据三角形内角和定理的历史设计了如下探究活动（如图3所示）。

（1）准备与聚焦

上课伊始，教师播放视频（时长约2分钟），追溯三角形内角和定理的历史：泰勒斯受生活中地砖镶嵌的启示，通过六个同样的等边三角形的拼图，发现三角形内角和等于两个直角之和；之后，毕达哥拉斯和欧几里得相繼通过平行线证明了该定理。学生观看视频后，教师要求学生分组合作，探究以下问题：

利用不等边三角形，能否发现三角形内角和定理？

能否用不同于教科书和视频中的方法（即毕达哥拉斯和欧几里得的方法）来证明三角形内角和定理？

（2）探索与发现

① 探索与发现一

学生将六个完全相同的不等边三角形在一个点的周围无缝隙、无重叠地拼成不同的图形，部分拼图如图4所示。

从这些拼图方案中都能够发现三角形内角和等于180°。就本节课而言，“探索与发现”的目标之一并非三角形内角和定理的结论，而是定理结论的发现过程。学生通过探究得到结果：通过不等边三角形的拼图，也能发现三角形内角和定理；从特殊到一般，这是三角形内角和性质的一般发现过程。

② 探索与发现二

“探索与发现”的目标之二是三角形内角和性质的新说理方法。部分学生将三角形的三个内角转化为同旁内角，与克莱罗的证明一致。学生说理过程如图5所示。

学生通过探究得到初步的结果：为实现角的转化，不仅可以过三角形顶点，还可以过三角形一边上的某一点作平行线。

（3）综合与交流

在本环节，教师引导学生思考新的问题：将三角形的三个内角进行转化时，所构造的角的顶点可否不位于边上？通过讨论，部分学生猜想，顶点可以位于三角形的内部，教师要求学生画图验证自己的猜想，如图8所示。

上述证明激发了学生的思维。部分学生开始思考：顶点位于三角形内部，是否是一般的情形呢？经过讨论，有的学生将顶点设在三角形外，如图9所示。

至此，学生通过探究，实现了平角顶点从三角形的顶点到三角形一边上的一点，再到三角形所在平面内任意一点作平行线的演进过程。

（4）评价与延伸

教师把学生的证明与历史上数学家的证明进行对比，对学生的表现给予积极的评价；总结三角形内角和定理背后的数与形、形与形互相转化的数学思想，以及从特殊到一般的数学探究方法。最后，教师提出进一步探究的课题：

三角形一条边上的任意一点作另两条边的平行线，这种方法与毕达哥拉斯学派和欧几里得过三角形一个顶点作平行线的方法有何联系？过三角形一条边上的任意一点，是否可以作出其他辅助线来证明三角形内角和定理？由此得到的新说理方法与毕达哥拉斯学派和欧几里得过一个顶点作平行线的方法有何联系？

运用过三角形内或三角形外任一点作平行线的方法，能否对三角形外角和进行说理？

如果规定不能使用平行线，如何证明三角形内角和定理？

四、结语

综上可知，三角形内角和定理的探究活动基本满足西格尔的探究式教学的四个阶段。在准备与聚焦阶段，教师基于学生的认知起点，创设泰勒斯铺地砖这种贴近生活的情境，激发学生的学习兴趣，并提出探究任务。在探索与发现阶段，教师引导学生分组进行拼图、讨论、说理论证等一系列探究活动，实现从特殊到一般的发现过程，并初步完成从特殊到一般的证明过程。在综合与[KG（0.1mm]交流阶段，教师引导学生对证明做出更进一步的探究，最终实现了说理方法的一般化。在评估与延伸阶段，教师评价学生的表现，让学生获得数学发现的成功体验，体现了探究之乐。同时，教师总结本节课所涉及的数学思想和探究方法，并提出拓展性问题，激发学生课后进一步探究与思考的兴趣。

在基于数学史开展的数学探究活动中，一方面，数学史是探究性教学的指南，教师可依据数学定理的历史演进过程设计和实施探究活动；另一方面，探究活动是数学史的重构，数学史创造了探究活动的机会。通过探索数学史上不同的证明方法，拉近了学生与古代数学家的距离，使数学课充满人文气息。因此，数学史是沟通历史与现实、数学与人文的桥梁。

参考文献：

[1]CHIN E T，LIN F L.A survey of the practice of a largescale implementation of inquirybased mathematics teaching：from Taiwans perspective[J].ZDM mathematics education，2013（45）：919-923.

[2]DEWEY J.Logic：the theory of inquiry[M].New York：Holt Press，1938.

[3] Hhkiniemi M.Teachers reflections on experimenting with technologyenriched inquirybased mathematics teaching with a preplanned teaching unit[J].Journal of mathematical behavior，2013（3）：295-308.

[4]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社， 2017.

[5]FAUVEL J.Using history in mathematics education[J].For the learning of mathematics，1991（2）：3-6.

[6]SIEGEL M，BORASI R，FONZI J.Supporting students mathematical inquiries through reading[J].Journal for research in mathematics education，1998（4）：378-413.