盗用行列式的性质简单证明克拉默法则

秦凤

摘要：对于所有的高等院校来说，只要学校开设了高等数学这门课，那么线性代数就是必须要学习的一块内容，因此Cramer法则也就是一定要接触的知识。而对于Cramer法则的证明，无论是数学专业学生用的高等代数还是非数学专业学生用的线性代数，其中给出的证明方法基本都是先证有解，然后证明解唯一。这种证明方法对于数学专业或者生源较好的一本、二本院校的学生来说可以接受，但是相对于生源较差的独立院校的学生，让他们掌握并理解这种证明方法就比较困难，故本文根据独立学院学生的基础情况给出一种用行列式的性质简单说明克拉默法则的证明，以此让独立学院的学生更容易接受并理解应用Cramer法则。

关键词：高等数学 独立学院Cramer法则

一、教材的基本证明方法

我们知道无论是一本、二本院校还是独立学院，只要学校开设了线性代数，那么克拉默法则也是必学的一块内容，但是对于很多教材，比如数学专业的高等代数，普通文科、工科的线性代数，对于克拉默法则的证明基本都是这样过程给出的。

定理：如果线性方程组

的系数矩阵，

的行列式

则线

性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为

此定理隐含了三层结论：一是此线性方程组是有解的;二是解是唯一的;三是唯一解是由上面的式子给出的。

一般教材的证明方法都是分成了两步：

证明：1）把线性方程组（1）写成

首先证明（3）是（1）的解。

把（3）代入第1个方程，左端为

因为

所以

由代数余子式与行列式的相关定理可得

这与第i个方程的右端是一样的，故（3）确为方程组（1）的解。

2）设（C1，C2，Acn）是方程组（1）的一个解，于是有n个恒等式

（7）

为了证明

，取系数矩阵中第k列元素的代数余子式A1k，A2k，AAnk用它们分别乘以（7）中n个恒等式，有

把这n个恒等式加起来，即得

等式右端等于在行列式D按第k列的展开式中把aij分别换成bi（i=1，2，An）。因此，它等于把行列式D中第k列换成b1，b2，A，bn所得的行列式，也就是Dk。（8）式的左端，即

由行列式与代数余子式定理可得

所以

于是， （8）即为Dck=Dk，K=l，2，A，n 也即是

故若（c1，c2，Acn）是方程组（1）的一个解，则它必为

，因此线性方程组（1）最多有一组解。

二、用行列式的性质简单证明Cramer法则

对于数学系的学生来说上面的证明方法是必要且必须掌握的，但是对非数学专业的学生尤其是独立学院的学生，此证明过程对他们来说理解起来比较困难，而且非数学专业的学生对于定理更侧重于应用，所以我们可以用下面简单的证明方法来帮助学生理解该定理的内容及定理的正确性。

证明：设方程组（1）有解且设为x1，，x2，Axn，则有

同理

故原方程組（1）有唯一解。

由于独立学院学生的整体数学基础比较薄弱，对大部分同学来说，他们可以理解并应用前面学习过简单的定理或性质，此处对克拉默法则的证明仅仅使用了前面章节刚学过的行列式的性质，没有牵扯到其它关联知识点，独立学院的学生会感到这种证明方法让他们很好理解，而且此证明过程也是对行列式性质的一种应用。因此，对数学基础薄弱的学生来说，此证明方法即是对前文知识点的复习应用又可很轻松地学到新的知识点，可谓一举两得。

三、小结

本文结合独立学院的实际情况，在教材已有的克拉默法则证明基础上，给出了用行列式的性质简单证明Cramer法则的过程，笔者认为，此证明方法对于独立学院的学生更适用，且有利于他们理解行列式的性质和克拉默法则的意义，而且简单的证明方法更能激起独立学院学生的学习热情，有助于他们对后续知识的学习。

参考文献

[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[D].高等教育出版社，2009.

[2]李志林，涂庆伟王强，大学数学线性代数[D].江苏大学出版社，2018.

[3]韩旭里，大学数学教程：线性代数（第三版）[D].科学出版社，2015.