“排列”与“组合”， 定义大不同

张圣官

“排列”与“组合”問题的求解往往需要缜密的思维方式和独特的解决办法，考虑稍有不周便会出现“重复”或“遗漏”而导致计数的结果发生偏差，在初学这部分内容时我们首先要把握定义的实质.

1.“有序”或“无序”是“排列”与“组合”定义的本质区别

2.“排列”或“组合”必须是“从n个不同元素中取出m个（不同）元素”

我们教材中所学的“排列”与“组合”，前提条件首先必须是“从n个不同的元素中取出m个（不同）元素”.之所以要突出“不同”两字，说明相同元素问题可不能直接套用排列组合公式.因此只有6条不同的对称轴.

换一个角度来看，在某些计数问题中，我们还要善于在关于“相同元素”的问题中挖掘出不同因素，这样才能运用排列或组合解题，

例2 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？

解析 按一定次序排列的一列数叫做数列.由于7个位置不同，故只要优先选两个位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”，思考一下两种方法的优劣）.因此，一共可以组成C7 C5=21个不同的数列，问题如果改成：“将5个相同的红球与2个相同的白球排成一排，问有多少种不同的结果”，答案其实是一样的，

点评 本题还可以分类解决.先把5个“1”放好，再把2个“2”插入，但要注意分两个“2”在一起和分开在两处两种情形讨论，结果为有C6 +C5=21个不同的数列.

例3 10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中至少有一个小球，问有多少种不同的方法？

解析 小球相同但盒子不同，本题相当于将10个相同小球分成3堆，可将10个球一字排开，中间有9个空档，在这9个空档中选2个插入2个隔板，每一种插法对应一种放小球的方法.因此，共有C5 =36种放法，这种解题方法称为“隔板法”.

3.“排列”与“组合”问题归根结底关键还是在于准确计数

排列、组合是两类特殊而重要的计数模型，求解的基本手法是准确利用两个基本计数原理，首先要考虑分类或分步，然后常常是先组后排，最终要确保结果“不重不漏”.

例4 如图1，一环形花坛分成A，B，C，D共4块，现有4种不同的花供选择，要求在每块里种1种花且相邻的2块种不同的花，则不同的种法为___-

解法一 先按A，C是否选种相同的花分类，再按A-C-B-D的次序分步种花，结果为4×1×3×3+4×3×2×2 -84种.

解法二 按选种几种花来分类求解.若选种4种花有A1种;若选种3种花，则有A，C种同一种花，B，D种另2种花，或者B，D种同一种花，A，C种另2种花两种情形，2C4A3种;若选种2种花，则A，C与B，D分别种同一种花，C4 A2种.总共84种.

最后通过一则教学案例，来说明利用排列组合定义解题时的一些注意点.

师：把形状大小完全相同的分别标有1，2，3的3个小球随机地放在编号分别是1，2，3，4的4个盒子中，则1号盒子内有球的不同放法有多少种？

生1（先下手为强）：先从3个球中任取一个放在1号盒内，其余2球任意放，得C3C4C4=48种放法.（因重复计数而犯错）

生2（折半扣除）：以上解法重复，应折半扣除，只有24种.（因出现新的遗漏致误）

生3（套用隔板）：由隔板法得C5 =10种.（视3个球完全相同而致误）

生4（抓1号球分类求解）：按1号球放“1号盒、2号盒、3号盒、4号盒”分类.第1类，1号球在1号盒内且另2球任意放，有C4 C4种;第2类时，1号盒又分有1球或有2球两种情形，有C2C3+C2种;第3类、第4类.